Zadanka Jacek: 1)Równania 2−logx=√logx oraz log₄(logx)=1 mają: a wspólny pierwiastek b równe zbiory rozwiązań c rozłączne zbiory rozwiązań 2)Równanie log₂x=log_x2: a ma dwa różne pierwiastki b ma dokładnie jeden pierwiastek x=2 c ma pierwiastek należący do przedziału (0,1) 3)Zbiorem rozwiązań nierówności log_(x−2)(x²−4)≤2 jest: a (−∞,2) b (2,3) c ∅ Mam tutaj 3 zadania mógłby ktoś mnie nakierować/pomóc w rozwiązaniu ?

Kacper: 1. rozwiąż oba równania

J: Zad1) Założenia: x > 0 i logx ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 log₄(logx) = 1 ⇔ logx = 4 ..... podstawiamy do drugiego równania: 2 − 4 = √logx ⇔ − 2 = √logx − równanie sprzeczne. Odp. b

Jacek: log₄(logx)=1 logx=4¹ logx=4 x=10⁴ x=10000 a tego drugiego nie mam pojęcia jak rozwiązać, co Cię spotkam Kacper to tylko rozwiąż albo cuś a nakierować to nie za bardzo

Jacek: w odpowiedzi jest napisane że są rozłączne −2≠2

J: Zad2) Założenia: x > 0 oraz x ≠ 1

	1
log2x = logx2 ⇔ log2x =		⇔ (log2x)2 = 1 ⇔
	log2x

	1
log2x = 1 lub log2x = −1 ⇔ x = 2 lub x =		... 2 −rozwiązania , odp.a i c
	2

J: Oczywiście do zad 1) ... jest odpowiedź c

Kacper: Dobra to zrobię ci zadanie 3 log_x−2(x²−4)≤2 Na początek dziedzina: x²−4 >0 ⇒ x∊(−∞,−2)∪(2,+∞) x−2>0 ⇒x>2 x−2≠1 ⇒x≠3 Ostatecznie: D=(2,+∞)\{3} Teraz przypadki: Przypadek I 0<x−2<1 ⇒ 2<x<3 (*) log_x−2(x²−4)≤2 log_x−2(x²−4)≤log_x−2(x−2)² x²−4≥x²−4x+4 4x≥8 x≥2 (**) Rozwiązanie z (*) i (**) mamy x∊(2,3) Przypadek II x>3 (*) log_x−2(x²−4)≤2 log_x−2(x²−4)≤log_x−2(x−2)² x²−4≤x²−4x+4 4x≤8 x≤2 (**) Z (*) i (**) widać, że brak rozwiązań. Ostatecznie odpowiedź to x∊(2,3) Jak masz pytania to pisz

Ac.: 2) Jeśli moje rozwiązanie jest złe, niech ktoś mnie poprawi. log₂x = log_x2 Powiedzmy, że log₂x = log_x2 = a log₂x = a ⇔ 2^a = x log_x2 = a ⇔ x^a = 2 Podstawiając x = 2^a: 2^a2 = 2 ⇔ a² = 1 ⇔ (a = −1 lub a = 1) I sprawdzenie, czy dla danych a równanie jest spełnione. Dla a = −1 mamy: log₂x = −1 ⇒ x = ¹₂ log_x2 = −1 ⇒ x = ¹₂ Dla x = ¹₂ równanie jest spełnione. Dla a = 1 mamy: log₂x = 1 ⇒ x = 2 log_x2 = 1 ⇒ x = 2 Dla x = 2 równanie również jest spełnione. Więc odpowiedź a. jest prawidłowa.

J: Zad 2) Napisałem w poście 10:40 ,że zarówno odpowiedź a i c , są prawidłowe, bo ma dwa różne pierwiastki oraz ma pierwiastek należący do (0,1)

Jacek: Jak zamieniasz tą 2 na logarytm o tej samej podstawie to co robisz dalej. Chodzi mi o to że log_x−2 wiem skąd się bierze ale (x−2)² nie mam pojęcia . A co do rozwiązania skąd je wziąłeś magiku ?

Kacper: Wypadałoby napisać do kogo pytanie

Jacek: Oczywiście do Ciebie Kacper

Kacper: Jak mniemam chodzi o ten fragment, gdzie z 2 robi się log_x−2(x−2)² Oczywiście prawdą jest, że log_x−2(x−2)=1 dla x>2. U nas chcemy uzyskać 2, czyli mamy 2log_x−2(x−2). Korzystamy teraz z własności logarytmu rlog_ab=log_ab^r i robi się log_x−2(x−2)². Można też szybko zapamiętać, że jak jest 2, to piszemy log_aa², jakby było 120, to log_aa¹²⁰ itd

Kacper: edit: dla x>2 i x≠3

Jacek: Dziękuję wszystkim którzy mi tutaj pomagają uporać się z tym koszmarem dnia codziennego

Jacek: x∊(2,3)⇔x>2 i x≠3 Mam rozumieć że rozwiązanie stąd tak? bo wolę się upewnić : )

Kacper: Nie to co napisałeś to nie to samo, narysuj sobie oś liczbową i sprawdź To była tylko dziedzina do 11:11 do drugiej linijki, bo tam brakowało zapisu x≠3