macierz zadanie: Znajdź macierz symetrii liniowej S, takiej że jej przestrzenią własną dla wartości własnej t=−1 jest prosta o równaniu x=y=−z. czyli wektor wlasny dla t=−1 to (1, 1, −1) jakies podpowiedzi?

MQ: Co to jest "symetria liniowa"?

zadanie: przeksztalcenie liniowe ale w sensie, ze to jest niepoprawne okreslenie? tak bylo w poleceniu

MQ: Jest symetria środkowa, osiowa i płaszczyznowa i wszystkie są przekształceniami liniowymi.

MQ: Chociaż, skoro przestrzenią własną do wartości własnej −1 jest prosta x=y=−z, to chodzi o symetrię płaszczyznową wzgl. płaszczyzny prostopadłej do tej prostej i przechodzącej przez początek układu wsp. Może o to chodziło, żeby podać o jaką symetrię chodzi.

zadanie: no wlasnie bo w zadaniu nie ma okreslonego rodzaju symetrii a na podstawie tych danych da sie to zrobic? (moze w sposob ogolny, z pewnymi literami jako danymi)

MQ: Da się. Tu masz podobne wyznaczenie macierzy symetrii płaszczyznowej: http://matma4u.pl/topic/33600-macierz-przeksztalcenia/ U ciebie wektor normalny do płaszczyzny to [1 1 −1]

zadanie: dziekuje

Mila: Jaki masz wynik?

MQ: MQ czy zadanie

Mila: Sama to liczę i chcę porównać. Trochę wiedza mi zardzewiała. Kto będzie miły i poda swój wynik, to pięknie podziękuję.

MQ: Mi wyszła macierz: 1/3*{{1 −2 2}{−2 1 2}{2 2 1}} Wartości własne: −1 oczywiście − jej podprzestrzenią jest owa zadana prosta i 1 podwójna − jej podprzestrzenią jest owa płaszczyzna symetrii

Mila: Dziękuję pięknie , niestety mam źle. Liczę jeszcze raz.

MQ: Może ja mam źle?

Mila: Jest, błędnie podstawiłam do równania płaszczyzny.

Mila: Mam MQ Twój wynik. Zobaczymy co powie zadanie, może ma odpowiedź?

zadanie: P=(x₀, y₀, z₀) wektor prostopadly do plaszczyzny π to [1, 1, −1] π: ax+by+cz=0 π: x+y−z=0 l: x=t+x₀ y=t+y₀ z=−t+z₀ podstawiajac do rownania plaszczyzny mam: t+x₀+t+y₀+t−z₀=0 t=(−x₀−y₀+z₀)/3 podstawiajac do rownania prostej l za t podwojone t mam ostatecznie macierz postaci 1 −2 2

1
	−2 1 2
3

2 2 1

zadanie:

Mila:

MQ: Czyli wszystkim trojgu wyszło to samo

Mila: Viribus unitis.

zadanie: chcialbym zapytac czy wszystkie symetrie liniowe maja wartosci wlasne 1 i −1?

zadanie: ?

MQ: Tylko symetrie płaszczyzn i osi przechodzących przez punkt (0,0,0) i symetria punktowa wzgl p. (0,0,0).

Mila: Czy wiesz dlaczego podstawiasz (2t) do równania prostej? Tu masz wiadomości, które Ci pomogą. http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index79.html http://www.math.uni.wroc.pl/~mgrec/2012/skrypt2.pdf punkt 10.1

zadanie: wiem korzystam z tego skryptu dziekuje

zadanie: a czy dla symetrii liniowej zawsze jest tak, ze dla wartosci wlasnej −1 przestrzenia wlasna jest prosta a dla wartosci wlasnej 1 plaszczyzna?

MQ: Tak jest tylko w przypadku symetrii płaszczyznowej i tylko wtedy, gdy płaszczyzna zawiera początek układy współrzędnych (czyli zawiera punkt (0,0,0)).

zadanie: dziekuje

zadanie: bo to zadanie mozna zrobic jeszcze korzystajac z tego, ze A=PDP⁻¹ dla t=−1 wektor wlasny to (1,1, −1) dla t=1 ; (−1, 1, −1) i (1, 0, 1); plaszczyzna x+y−z=0 prawda?

MQ: Tak, z tym że dla wartości własnej 1 możesz wybrać dowolne dwa wektory leżące w tej płaszczyźnie, byle były wzajemnie prostopadłe, bo wartość własna 1 jest podwójna.

zadanie: no bo te akurat nie sa prostopadle ale naleza do plaszczyzny (−1, 1, −1) i (1, 0, 1) wiec jakbysmy wzieli te 2 to byloby zle?

MQ: Sorry, masz rację. Wystarczy, żeby były liniowo niezależne − nie muszą być prostopadłe (ale oczywiście muszą należeć do tej płaszczyzny). Po prostu mam skrzywienie jeszcze ze studiów, bo zazwyczaj wyznaczaliśmy bazę ortogonalną, a nawet ortonormalną.

zadanie: dziekuje

zadanie: czy macierz symetrii liniowej jest zawsze symetryczna?

MQ: Teraz dopiero spostrzegłem się, że tobie stale chodzi o symetrie liniowe −− rozumiem to tak, że chodzi ci o przekształcenia liniowe, które są symetriami. Symetrie są liniowe tylko wtedy, gdy płaszczyzna czy oś symetrii przechodzą przez początek układu wsp., więc: 1. Faktycznie mają wartości własne 1 i −1 (pytanie z 29 lip 22:41) 2. Faktycznie "dla wartosci wlasnej −1 przestrzenią wlasną jest prosta a dla wartości wlasnej 1 plaszczyzna" (pyt. z 30 lip 19:15) −− oczywiście w przypadku symetrii płaszczyznowej. 3. Faktycznie macierz symetrii liniowej jest symetryczna. Sorry za nieporozumienie, ale cały czas dotychczas myślałem o symetriach w sensie ogólnym (a nie tylko liniowych).

zadanie: dziekuje