CIĄGI I WIELOMIANY Ewa: 1. Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a,b,c,d), gdzie a,b,c,d są liczbami całkowitymi. Wiedząc,że wszystkie wyrazy tego ciągu są pierwiastkami wielomianu W(x)=x⁴ + px² +9, wyznacz ten ciąg i oblicz współczynnik p wielomianu. 2. Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia W(x)=ax³ + bx² +cx + d tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a,b,c,d). Wykaż,że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x),to liczba −1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Kacper: Fajne zadanka 1. metoda brutal force a,a+r,a+2r,a+3r − dany ciąg r>0 mamy: a⁴+pa²+9=0 (a+r)⁴+p(a+r)²+9=0 (a+2r)⁴+p(a+2r)²+9=0 (a+3r)⁴+p(a+3r)²+9=0 Dostajemy a=−3, p=−10, r=2

Kacper: Oczywiście jest prostsza metoda równanie jest dwukwadratowe − suma pierwiastków jest zerem i dalej trzeba kombinować

Kacper: 2. Policz W(1) i trzeba wyciągnąć wnioski Policz W(−1) i szukaj sprzeczności

zombi: Ew. tak niech a=a₁−3r, b=a₁−r, c=a₁+r, d=a₁+3r Ze wzorów Vieta x₁+x₂+x₃+x₄ = 0 ⇔ 4a₁ = 0 ⇔ a₁ = 0 oraz x₁x₂x₃x₄ = 9 ⇔ 9r⁴ = 9 ⇔ r=±1 czyli pierwiastki to {−3,−1,1,3} A stąd prosto W(x) = (x−3)(x+3)(x−1)(x+1) = (x²−9)(x²−1) = x⁴ − 10x² + 9