Zadanie z indukcji matematycznej zzzz: Zaczynam robić sobie zadanka z indukcji matematycznej i jest takie: Wzór na n−ty wyraz an = a1*q^{n − 1} postępu geometrycznego. Mam wykazać prawdziwość tego wzoru za pomocą indukcji. No i ja sobie robiłem tak: 1) n = 1 i wtedy: a1 = a1 * q^{1 − 1} = a1, bo jak rozumiem tutaj muszę udowodnić prawdziwość tego wzoru. Sprawdziłem sobie dla a2, podzieliłem przez a1 i wyszło q (i jest to ciąg geometryczny). 2) n = k, k >= 1 i zakładam sobie, że dla tego n = k wzór jest prawdziwy i robię: ak = a1*q^k−1 3) n = k + 1 i tutaj jak będzie dobrze to jest ok: ak+1 = a1*q^{k + 1 − 1} = a1 * q^k I potem robię tak, że sobie dzielę: (ak+1)/ak = (a1 * q^k)/(a1 * q^k−1) = q^{k − (k − 1)}= q Koniec, ale nie wiem czy ja coś tutaj zrobiłem i czy jest dobrze, a jak nie jest to czemu nie jest i jak mam to zrobić?

AS: ak+1 = a1*q^k−1+1 = a1*q^k−1*q = ak*q c.n.d

5-latek: Definicja : Ciag liczbowy a_n nazywamy ciagiem geometrycznym wtw gdy istnieje taka liczba q ze dla kazdego n gdy ciag jest nieskonczony, dla kazdego zas n<=k−1 gdy ciag jest skonczony, k wyrazowy (k>=3 ) jest spelniony warunek a_n+1= a_n*q Wzor na n−ty wyraz ciagu geometrycznego a_n=a₁*qⁿ⁻¹ dla kazdego n>=2 gdy ciag a_n jest nieskonczony ,dla kazdego zasn>=2 i n<=k gdy ciag ten jest k wyrazowy Dowod : Dla n=2 wzor ten jest prawdziwy na mocy wzoru a_n+1= a_n*q Przypuscmy ze wzor a_n=a₁*qⁿ⁻¹ jest prawdziwy dla pewnej liczby naturalnej m>=2(m<=k−1 gdy ciag jest k wyrazowy Mamy wiec a_m+1=a_m*q= a₁*q^m−1*q= a₁*q^(m+1)−1) co konczy dowod Wzor na wyraz a_n jest tez prawdziwy takze dla n=1 jezeli przyjmiemy z ew przypadku gdy q=0 symbol 0⁰ oznacza 1

zzzz: Okay, bardzo dziękuję!

zzzz: Albo czekajcie! To co ja robiłem źle? Bo jeżeli wzór dla np. n = 1 i n = 2 jest prawdziwy, a potem sobie założyłem, że dla n = k też jest prawdziwy to czy obliczenie q ((ak + 1)/ak = (a1 * q^k)/(a1 * q^{k − 1} = q^{k − (k − 1)} = q) nie jest wystarczającym dowodem? Bo ja tak rozumuję, że jak ak jest prawdziwe i wyszło q, to teoretycznie ak+1 tez będzie prawdziwe. Bo to jest w sumie to samo co AS napisał.