zadania Eta: wakacyjne rozrywki z matematyką dla przyszłych maturzystów! zad1/ Rozwiąż równanie (x+1)²⁰¹⁵+(x+1)²⁰¹⁴*(x−1)+(x+1)²⁰¹³*(x−1)²+..... +(x−1)²⁰¹⁵=0 zad 2/ Iloczyn pierwiastka równania kwadratowego : ax²+ax+b=0 i pierwiastka równania kwadratowego : ax²+bx+b=0 jest równy 1 Wyznacz pierwiastki tych równań. zad 3/ Rozwiąż układ równań: x²+y²−4|x−y|+7=0 xy= −2

Hugo: napewno

Eta:

Mario: Hehe dobrze ze mam to za soba

Eta: No to masz farta

Hugo: skasowano mi posta

Eta:

Hugo: x² + y² −4|x−y|+7=0

	2
xy= −2 => y= −
	x

	2		2
x2 + (−		)2 −4|x−(−		)2|+7=0
	x		x

	4		2
x2 +		−4|x+		|+7=0
	x2		x

dla x>0

	4		8
x2 +		−4x+		+7=0 /*x2
	x2		x

x⁴ + 4 −4x³+8x+7x²=0 x⁴ −4x³+7x²+8x+ 4=0 w(2)=16−32+28+16+4=16 w(−2)=16+32+28−16+4=64 w(4)=256−256+112+32+4 =/=0 w(−4)=256+256....

Hugo: google mówi http://scr.hu/2pdc/2obyf że nie ma rozwiazania albo ja pomyliłem

Maturzysta Stefan:

⎧	x2 + y2 − 4|x − y| + 7 = 0
⎩	xy = −2

Niech najpierw x − y ≥ 0. Załóżmy, że x ≠ 0 (dla x = 0 mamy sprzeczność 0 = −2)

⎧	x2 + y2 − 4x + 4y + 7 = 0
⎩	y = − 2x

	4		8
x2 +		− 4x −		+ 7 = 0 / * x2
	x2		x

x⁴ − 4x³ + 7x² − 8x + 4 = 0 Np. x = 1 jest pierwiastkiem tego równania (x − 1)(x³ − 3x² + 4x − 4) = 0 Kolejny pierwiastek x = 2 (x − 1)(x − 2)(x² − x + 2) = 0 Δ < 0 więc więcej rozłożyć nie możemy x = 1 lub x = 2 wówczas y = −2 lub y = −1 Zatem dla x ≥ y mamy pary (1,−2) oraz (2,−1) Niech teraz x < y

⎧	x2 + y2 + 4x − 4y + 7 = 0
⎩	y = − 2x

	4		8
x2 +		+ 4x +		+ 7 = 0 / * x2
	x2		x

x⁴ + 4x³ + 7x² + 8x + 4 = 0 Postępując podobnie: (x + 1)(x + 2)(x² + 2x + 2) = 0 x = −1 lub x = −2 ⇒ y = 2 lub y = 1 Spodziewany przypadek, ponieważ funkcje są symetryczne tzn. f(x,y) = x² + y² − 4|x − y| + 7 = y² + x² − 4|y − x| + 7 = f(y,x) oraz g(x,y) = xy + 2 = yx + 2 = g(y,x) Więc jeśli para (x₀,y₀) jest rozwiązaniem to również (y₀,x₀) Odp:

⎧	x = 1
⎩	y = −2

⎧	x = 2
⎩	y = −1

⎧	x = −1
⎩	y = 2

⎧	x = −2
⎩	y = 1

jakubs:

Hugo: zad 2 ciekawe Iloczyn pierwiastka równania kwadratowego : ax²+ax+b=0 i pierwiastka równania kwadratowego : ax²+bx+b=0 jest równy 1 Wyznacz pierwiastki tych równań. równanie kwadratowe... delta ! ax²+ax+b=0 ax²+bx+b=0 Skoro pierwiastka to jest 1 miejsce zerowe

−b
2a

	−a
1)
	2a

	−b
2)
	2a

−a		−b
	*		= 1
2a		2a

ab
	=1
4a2

b
	=1
4a

b=4a a to mi jakoś dziwnie przypomina pewien wzór na q i wnioskuje że miejsca zerowe to 1 i 1

Hugo: Hugo jak zwykle w tyle

Mila: x≠0 i y≠0 Hugo, sposobem!

	4		2		2		2
x2+		=(x+		)2−2*x*		=|x+		|2−4
	x2		x		x		x

teraz podstawienie :

	2
|x+		|=t, t>0
	x

Eta: @Maturzysty Stefana , ale czy "maturzysty"? x≠0 i y≠0 wynika już z drugiego równania Czekam na jeszcze inny sposób rozwiązania ( nieco prostszy)

Eta: Ejj Mila ( jesteś maturzystką?

Mila: To tylko podpowiedź, bo Hugo ładnie zaczął.

Saizou : mogę ja?

Hugo: − nie rozumiem dlaczego tam jest podwójne '=' i jak to przekształciłaś że takie coś tam jest − dlaczego t>0 a nie t>=0? ;x

Hugo: ; / smutno mi szczerze... chcialbym zebyście byli chodź raz dumni z Huga, by was mógl zaciąć.

Godzio: A mi taki pomysł chodzi po głowie: x²+y²−4|x−y|+7=0 xy = − 2 (x − y)² + 2xy − 4|x − y| + 7= 0 |x − y|² − 4|x − y| + 3 = 0 |x − y| = t

Saizou : Godzio miałem taki sam pomysł

Godzio: Saizou, gdzie w końcu się wybrałeś, jeśli można wiedzieć ?

Saizou : Godzio, ostatecznie padł wybór na PWr xd

Hugo: Gondzio wytłumaczysz mi to? jak (x−y)² zwinąłes pod wartość bzwgl? i jak mam rozumieć |x − y| = t

Godzio: Super Nie pożałujesz! Ja jutro składam papiery ... na PWr

Eta: Ejjj matematycy Godzio i Saizou ( znów będziecie zdawać maturę? Dla Was to "pikuś"

Godzio: (x − y)² = |x − y|² gdzie tu widzisz coś nieprawdziwego ?

	⎧	x2 dla x ≥ 0
x2 =	⎩	x2 dla x < 0

	⎧	x2 dla x ≥ 0
|x|2 =	⎩	(−x)2 dla x < 0

No, ale (−x)² = x² więc

	⎧	x2 dla x ≥ 0
|x|2 =	⎩	x2 dla x < 0

Stąd |x|² = x² |x − y| = t − zwykłe podstawienie, otrzymujemy równanie t² − 4t + 3 = 0

Saizou : Godzio to się spotkamy na uczelni Eta a kto to wie, może się poprawi dla własnej satysfakcji

Godzio: Już nic nie piszę ...

Eta: A możesz Godzio zapomnieć już o tym t |x−y|²−4|x−y|+3=0 ⇒ (|x−y|−1)(|x−y|−3)=0 ⇒ ..........

Godzio: Ja tam mogę, ale czy inni ?

Hugo: |x − y|² − 4|x − y| + 3 = 0 ⇔ |x − y| = t czyli |x − y|² = 4|x − y| − 3 |x − y| = √4|x − y| − 3 i t=√4|x − y| − 3? prosze wyjaśnij

Godzio: Napisałem jak przeprowadzić, po co tak kombinujesz

Godzio: "przeprowadzić podstawienie" miało być

Hugo: Eto ale tam była |x−y|²−4|x−y|+3=0 gdzie znika 4?

Godzio: Nie zniknęła!

pigor: ..., Rozwiąż układ równań: x²+y²−4|x−y|+7= 0 i xy= −2 /*(−2) ⇔ ⇔ x²+y²−4|x−y|+7=0 i −2xy− 4=0] /+stronami ⇔ (x−y)²−4|x−y|+3=0 i xy= −2 ⇔ ⇔ (|x−y|=1 v |x−y|=3) i xy= −2 ⇔ ⇔ (x−y=−1 i xy=−2) v (x−y=1 i xy=−2) v (x−y=−3 i xy=−2) v (x−y=3 i xy=−2) ⇔ i mamy 4 w miarę proste układy równań z których 2 pierwsze sprzeczne a z pozostałych dwóch 4 rozwiązania : (x,y)∊{(−2,1), (−1,2), (2,−1), (1,−2)} ...

Hugo: (x−y)²−4|x−y|+3=0 i xy= −2 do (|x−y|=1 v |x−y|=3) i xy= −2 jak tworzysz te |x−y|=1 v |x−y|=3?

Eta: Ooo znowu π.. maturzysta?

jakubs: Wiecznie młody

Hugo: wytłumaczcie prosze

Eta: Huguś t²−4t+3=0 ⇒(t−1)(t−3)=0

pigor: η nie krzycz na mnie, bo znasz chyba moje zdanie najlepiej uczyć się na nie schematycznych rozwiązaniach ...

Eta:

Eta: czyt. "gotowcach"

Godzio: Jest tak gorąco, że spać się nie da ...

Eta: No to dawaj ... z szuflady pigorku zad.1

Saizou : Eta a ty nie rozwiązujesz, przecież jeśli dobrze pamiętam to w tym roku 2 klasa, tak ?

Hugo: rozumiem już, ale pisaliście średnio czytelnie .. heh dzięuje

pigor: ... , "rozgryzając" je z każdej strony; radzi tak wiecznie młody maturzysta

Eta: Tak, Saizou tak ( ja czekam na gotowce, bo na nich najlepiej się uczyć od mądrych ludzi

Godzio: Na początek przemnóżmy równanie przez .... 2 ?

pigor: ...,1) x∊{−1,1} w ... pamięci; np grupując wyrazy(składniki) jednakowo odległe od początku i końca lewej strony równania i podeprzeć odpowiednim komentarzem.

Godzio: pigor czy aby na pewno?

Hugo: zad 1) (x+1)²⁰¹⁵+(x+1)²⁰¹⁴*(x−1)+(x+1)²⁰¹³*(x−1)²+..... +(x−1)²⁰¹⁵=0

(x+1)2015 + (x−1)2015
	=0 coś w tym guście moze?
2

Eta:

Godzio: Równo odległe od 1 i −1 jest .... 0

Eta: pigor ?

Eta: Ejj Godzio .......... ciii....

Hugo: wynik to nie zero ?

Godzio:

Godzio: Hugo skąd takie rozwiązanie ?

Eta:

Eta: Huguś Masz rozwiązać, a nie zgadywać ( a może jeszcze inne są?

Godzio: Lecę spać, dobranoc!

Eta: Dobrej nocki Godzio

Saizou : Miłych matematycznych snów (i nie tylko) Godzio a i gratulacje, bo jeszcze nie składałem ich chyba

daras: @Hugo zapamiętaj: na pewno naprawdę piszemy rozdzielnie

Eta: A to dlatego,że mama Hugusia jest polonistką

Saizou : albo zapamiętać jedno z tych wyrażeń, a drugie pisać odwrotnie xd ja pamiętam na pewno, bo sobie mówię że: na pewno piszemy oddzielnie, na pewno xd

pigor: .., tak przypuszczałem, bo to było z mojego ... sufitu, tak na szybko i jak widać niecelnie, a więc na dzisiaj wypada sobie odpuścić; dobranoc. ...

Hugo: Eto −___________−

Hugo: wracając do zadania (x−1)²⁰¹⁵ to zawsze miejsce zerowe będzie 1 ! (x+1)²⁰¹⁵ to zawsze miejsce zerowe będzie −1 !

	1−1
zatem		* n = 0
	2

Hugo: aczkolwiek to nie iloczyn ale każdy wie o co chodzi

Damian: To jak z tym 1 bedzie ?

Kacper: No właśnie macie pierwsze? Hugo wstaw 1 i zobacz czy się zeruje

pigor: ...,no to może np. tak : (x+1)²⁰¹⁵+(x+1)²⁰¹⁴*(x−1)+(x+1)²⁰¹³*(x−1)²+ ... +(x−1)²⁰¹⁵=0 ⇔

	(x+1)2016−(x−1)2016
⇔ (... dlaczego ?)		= 0 ⇔
	x+1−(x−1)

	(x+1)2016−(x−1)2016
⇔		= 0 ⇔ (x+1)2016−(x−1)2016= 0 ⇔
	x+1−x+1

⇔ (x+1)²⁰¹⁶ = (x−1)²⁰¹⁶ ⇔ |x+1| = |x−1| ⇔ x+1=x−1 v x+1= −x+1 ⇔ ⇔ x∊∅ v 2x=0 ⇔ x=0 − szukane rozwiązanie (pierwiastek) równania. ...

pigor: ...., ano ... dlatego, bo aⁿ−aⁿ = (a−b) (aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+ ... +a²bⁿ⁻³+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)

Kacper: Może być

pigor: ..., a więc miałem rację w poście o 23;00 ,. że powinny się zredukować wyrazy (składniki jednakowo odległe od początku i końca po L−ewej stronie równania; tylko ten upał i ... o jedno piwo za dużo ...

WueR: x∊∅? Ale przeciez nic nie nalezy do zbioru pustego.

Kacper: WueR a jak pisałeś w szkole?

WueR: Rownanie sprzeczne, stad brak rozwiazan.

Kacper: Jak wakacje?

WueR:

Kacper: Ja poszukuje pracy z marnym skutkiem

pigor: ... , ja wiem, że takiego zapisu niektórzy nie trawią, ale to jest tylko krótko symbolicznie zapisane zdanie np. takie "nierówność (równanie itp.) sprzeczna(e) i nie warto doszukiwać się w tym zapisie jakiegoś ... dna ...

pigor: ..., 2) iloczyn pierwiastka równania kwadratowego : ax²+ax+b=0 i pierwiastka równania kwadratowego: ax²+bx+b=0 jest równy 1. Wyznacz pierwiastki tych równań. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ... wychodzą mi rozwiązania pierwszego 1 i drugiego 1, albo pierwszego −1 i drugiego −1,. ...;

Lidka: pigor to wówczas a=0 i b=0 błędne rozumowanie!

Mila: Rozwiązałam inaczej niż pigor, ale Eta mi pogroziła, to nie piszę, czekam na rozwiązania przyszłych maturzystów. Kiedyś tam napiszę.

pigor: ..., racja, w takim razie chyba nie bardzo wiem o co chodzi z tymi rozwiązaniami tych równań.

Kacper: Z moich rachunków wychodzą pierwiastki

1±√5		1±√5
	oraz −		jeśli a≠b
2		2

ale nie wiem jak ładnie zapisać rozwiązanie

Blue:

	x−1
Czy w tym pierwszym to nie będzie tak, że to jest ciąg geometryczny i q =		i a1 =
	x+1

(x+1)²⁰¹⁵ i teraz ze wzoru ogólnego liczę ilość wyrazów (wyszło 2016), następnie podstawiam pod wzór na sumę, ale nie wiem, jak dalej to przekształcać ;c Czy dobrze myślę?

Blue:

	1
a w tym drugim jeden pierwiastek wynosi −		a drugi nie wiem , jak wyliczyć...
	2

Blue: a nie nie, już mam : drugi pierwiastek to będzie −2?

Blue: W tym ostatnim wyszło mi x=1, y= −2, ale z tego co widzę, to musi wyjść więcej wyników

Blue: kurcze, zawsze nie wiem, jak rozkładać jakie wielkie wielomiany xd

Blue: Wyszło (x−1)(x³−3x²+4x−4) , a no tak i tego drugiego równania będzie 2 pierwiastek xd

pigor: ..., 2) iloczyn pierwiastka równania kwadratowego ax²+ax+b=0 i pierwiastka równania kwadratowego ax²+bx+b=0 jest równy 1.Wyznacz pierwiastki tych równań. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− masz rację; nie ma ... η,no to może zainspiruję przyszłych maturzystów np. takim rozwiązaniem, otóż z założenia (treści zadania) a≠0 (są kwadratowe) i istnieją pierwiastki x₁,x₂ takie, że ax₁²+ax₁+b=0 /*x₂ i ax²₂+bx₂+b=0 /*x₁ i x₁x₂=1 ⇒ ⇒ ax₁+a+bx₂=0 i ax₂+b+bx₁=0 /− stronami i x₁x₂=1 ⇒ ⇒ (a−b)x₁+a−b+(b−a)x₂ /:(a−b)≠0 i x₁x₂=1 ⇔ ⇔ x₁+1−x₂=0 i x₁x₂=1 i a≠b≠0 ⇒ x₂= x₁+1 i x₁²+x₁−1=0, Δ=5 ⇒ ⇒ x₁= ¹₂(−1±√5) i x₂= ¹₂(−1±√5)+1= ¹₂(1±√5). ...

Blue: ej to zadanie nie jest nawet takie złe, po prostu trzeba dużo policzyć .. Czyli najpierw

	−2		2
wyznaczam y=		, a potem podstawiam i raz liczę , że |x+		|≥0, a raz, że
	x		x

	2
|x+		|<0 i zmieniam znaki po opuszczeniu wartości bezwzględnej, następnie znajduje
	x

pierwiastki , dziele wielomiany i rozkładam je , tak aby znaleźć wszystkie pierwiastki i jest , wszystko wychodzi

Saizou : Blue ale jeśli dzielisz przez x to sprawdź co się dzieje dla x=0

Mila: Blue

	2
|x+		|>0 !
	x

Blue: a no tak Mila, bo x nie może być równy 0

Maciek: ok

janek191: Wykopaliska

johny: kto jest dobry z logiki?