. Piotr 10: Liczby zespolone x²+x + 1 = 0 Liczę sobie wyróźnik: Δ = 1 − 4 = − 3 √Δ = +/ − √3i czy √Δ = + √3i ? Bo w jednym z filmików spotkałem się, że 99% studentów piszę +√3i, a to podobno jest niepoprawnie Zaś w książce mam napisane, że i∊(0;1) Zatem: Δ= 3i² ⇒ √Δ=√3i Która wersja jest prawdziwa i dlaczego ?

Mila: Równanie algebraiczne drugiego stopnia: a*z² + b*z + c = 0, o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy w zwykły sposób, tzn. obliczamy wyróżnik ∆ = b² − 4ac i stosujemy wzory:

	−b ±√Δ
z1,2 =
	2a

Zauważmy, że w tym przypadku (w przeciwieństwie do przypadku liczb rzeczywistych) zawsze istnieje √∆ — w istocie są dwa pierwiastki różniące się znakiem. Do powyższych wzorów wystarczy podstawiać dowolny z nich (ten drugi da te same wartości z_1,2.

WueR: Podnies do kwadratu √3i oraz −√3i i zobacz czy dostaniesz −3 w obu przypadkach, czy nie.

Piotr 10: Ja wiem, że to samo wyjdzie. Tylko oglądałem filmik na youtube i tak jedna osoba wspomniała o tym. To jak liczę pierwiastek z delty to ma być ona z minusem czy z plusem czy napisać +/ − ?

WueR: √Δ = {w∊C: w²=Δ} i tego bym sie trzymal. Wybrac mozna tylko jeden z elementow tego zbioru, ale pamietajmy, ze jak napiszemy √−3 = {√3i}, to prawda to nie jest.

Piotr 10: Określ geometrycznie zbiór punktów płaszczyzny zespolonej: Iz − i I = Iz+2I Hmm? IaI=IbI a=b v a=−b to jedynie wiem Jak to ruszyć ?

Piotr 10: a może podstawienie z = x+yi ?

Mila: 1) sposób, |z−(0+i)|=|z−(−2+0i)| to jest równanie symetralną odcinka AB, gdzie A=(0,1), B=(−2,0) Napisz równanie symetralnej tego odcinka 2) sposób Możesz tak ustalić zbiór punktów z=x+yi |x+yi−i|=|x+yi+2| ⇔ |x+i*(y−1)|=|(x+2)+y*i| √x²+(y−1)²=√(x+2)²+y² /² x²+y²−2y+1=x²+4x+4+y² −2y+1=4x+4 −2y=4x+3

	3
y=−2x−
	2

Piotr 10: 2 sposób łatwiejszy, mam pytanie do sposobu pierwszego dlaczego tutaj jest symetralna odcinka AB ?

Mila: To z definicji. Zbiór punktów jednakowo odległych od punktów (0,1),(−2,0)

Piotr 10: To wynika z interpretacji geometrycznej Szukam takich par liczb, których odległość pary (−2;0) od prostej jest równa odległości pary (0;1) ?

Mila: Popatrz na 2 sposób, trzecia linijka oznacza , że odległość punktu P(x,y) od A(0,1) jest równa jego odległości od punktu B(−2,0 ), a to jest zbiór punktów na symetralnej AB (geometria analityczna kłania się).

Piotr 10: Ok, dziękuję

Godzio: Co do delty warto zapisywać w ten sposób: Δ = −3 = (√3i)² (bez obliczania pierwiastka) i od razu

	−1 + √3i		−1 − √3i
z1 =		lub z2 =
	2		2

Piotr 10: Oks thx

ae: Z jakiej książki korzystasz?

Piotr 10: Podstawowe wiadomości teoretyczne i ćwiczenia dla studentów studiów inżynierskich H. Łubowicz, B. Wieprzkowicz

Piotr 10: a tak to jeszcze filmiki z youtube.pl

Piotr 10: Rozwiąź równanie: z² + IzI = 0 z² = IzI² IzI² + IzI = 0 IzI ( IzI+ 1 ) =0 z = 0 v IzI = − 1 Co robię źle ?

Godzio: z² ≠ |z| |z| to liczba rzeczywista, a z² to zespolona.

Godzio: z = x + iy |z| = √x² + y²

Godzio: z² ≠ |z|² oczywiście

Piotr 10: Ok. Dzięki

Piotr 10: Witam. z² + IzI = 0 z= a+bi IzI=√a²+b² (a+bi)² + √a²+b² = 0 Jeśli ta suma ma być równa zero to. (a+bi)²=0 i a²+b² = 0 a²+2abi − b² = 0 a²+b²=0 2a²+2abi=0 a(a+bi)=0 a=0 v a = −bi b=0 v Proszę o pomoc, będę później.

Piotr 10: ?

Mila: (a+b*i)²+√a²+b²=0⇔ a²+2abi−b²+√a²+b²=0 (a²−b²+√a²+b²)+2ab*i=0 teraz do zera przyrównujesz część Re i część Im⇔ (a²−b²+√a²+b²)=0 i 2ab=0 Z drugiego : a=0 lub b=0⇒ dla a=0 −b²+√0+b²=0 √b²=b² Rozwiązuj dalej sam

Piotr 10: Ok. Mam dziękuję

Mario: Piotr mozna zapytac z jakich podrecznikow uczysz sie tych liczb zespolonych ? Mialem plany ogladac wyklady z PWr a potem robic zadania z Skoczylasa lecz nie moge nawet znalesc lekcji o liczbach zespolonych na filmikach z PWr. Moze mnie ktos nakierowac ?

Mila: @ Mario http://www.matemaks.pl/liczby-zespolone.php

Piotr 10: Mario polecam etrapez liczby zespolone . Masz tam 8 filmików, łącznie około 280 minut + testy + ćwiczenia z odpowiedziami

Mario: Ok dzieki

5-latek: Takze to mozesz sobie wypozyczyc lub kupic http://allegro.pl/liczby-i-zmienne-zespolone-janowski-i4425171933.html

Piotr 10: Witam, natrafiłem na kolejny problem robiąc zadanie Rozwiąź równanie: I z − 1I+ ź = 3 Ix+iy − 1I + x − iy = 3 Jak to dalej ruszyć

ICSP: |x + iy − 1| = |(x−1) + iy| = √(x−1)² + y²

pigor: ..., widzę to dalej tak : z= x+yi= ? , gdzie ... ⇔ √(x−1)²+y²+x −yi = 3+0i ⇔ √(x−1)²+y²+x= 3 i −y=0 ⇔ ⇔ √(x−1)²+y²= 3−x i 3−x ≥0 i y=0 ⇒ |x−1|= 3−x i x≤ 3 ⇔ ⇔ (x−1=3−x v x−1=x−3) i x≤ 3 ⇔ (2x=4 v x∊∅) i x≤ 3 ⇒ x=2, zatem z=2+0i= 2 − szukane rozwiązanie danego równania. ...

Piotr 10: Dzięki, zrobiłem, też mi wyszło z=2

zorba: |z−1|=3−z , z=2

Piotr 10: Witam, Oblicz: ³√(1+i)³ ω₀=1+i

	2π		2π		1		√3
ω1 = ω0 * ( cos		+ isin		) = (1+ i ) * ( −		+		)=
	3		3		2		2

	1		√3		1		√3
= −		−		+ i(−		+		)
	2		2		2		2

ω₂ = .....

	√3
czy ω1 jest dobrze, bo w odpowiedzi jest inaczej jest plus przed
	2

Piotr 10: Ale tutaj nie muszę modułu liczby zespolonej liczyć, bo jeśli znam już jedno rozwiązanie to korzystam ze wzoru

	2π		2π
ωk = ωk−1 * (cos		+ isin		)
	n		n

Janek191: Piotr 10: Zgubiłeś i przy obliczaniu ω₁

	1		√3
= ( 1 + i)*( −		+ i		) =
	2		2

Mila: W zapisie w pierwszej linijce zgubił "i", ale dobrze obliczył.

Piotr 10: Witam, Mam pewien problem w zrozumieniu postaci wykładniczej liczb zespolonych: Przypuścmy, że mam taki przykład ( ź ) ⁶ = 8zźIzI, gdzie ź to sprzężenie liczby zespolonej z=IzIe^iφ = re^iφ , gdzie r ≥ 0 (re^iφ)⁶ =8re^iφ *re^−iφr r⁶e^−6iφ = 8r³*e⁰ Porównuje: r⁶ = 8r³ r=0 v r=2 I jak teraz przyrownać dalej ? Proszę o wytłumaczenie I drugi problem jak z tej postaci: Ir³e^3φoiI opuścić moduł

Piotr 10: Znaczy się na końcu w wykładniku mam błąd I r³e^3φi I

Kacper: To mnie na studiach nie uczyli takich liczb zespolonych i chyba dobrze, bo zastosowania nie widzę

Piotr 10: :(. A zastosowań to podobno mnóstwo ma

Piotr 10: Pomoże ktoś i wytłumaczy problem ?

mono: Poproś Milę

Piotr 10: Mila pomożesz ? Ja będę jutro.

Mila: Coś wymyślę. Po co takie dziwadło rozwiązujesz?

Mila: Wskazówka : Dwie liczby zespolone niezerowe są równe, gdy ich moduły są równe, a argumenty różnią się o wielokrotność (2π) W takim razie masz : r⁶*e^−6iφ = 8r³*eⁱ⁰⇔ r⁶=8r³ −6φ=0+2kπ⇔

	n*π
φ=		, n=0,1,2,3,4,5,6
	3

Teraz liczysz z₀=2*(cos0+i sin0)=2

	π		π
z1=2*(cos		+isin		)
	3		3

.....

Piotr 10: Ok dziękuję

Piotr 10: Znajdź Arg(1 − i ) , arg(1−i) Czym to się różni ? argument liczby zespolonej to kąt 'fi' φ

Kacper: Zapewne błąd w druku

Piotr 10: No właśnie na pewno nie w odpowiedzi mam, że Arg ( 1− i ) = U{7π}[4}

	7π
arg(1−i ) =		+ 2kπ i k ∊ Z
	4

ICSP: Arg − argument główny arg − argument dowolny

Piotr 10: Aaa ok to wszystko wyjaśnia, dzięki ICSP

Kacper: Ja nigdy na to nie zwracałem uwagi Ale po odpowiedzi widać, że oni tak oznaczają

Kacper: ICSP wakacje?

Piotr 10: Określ geometrycznie zbiór punktów spełniających waruneK:

	z−1		π
arg		=
	z+1		3

Proszę o pomoc od czego zacząć

Piotr 10: Prościejsze rzeczy umiem tego typu, np. arg ( z − i ) > U{π}[6} itd , Iz − i I + Iz +iI=8. Ale w tym to nie wiem, próbowałem podstawienie, pomnożenie licznika i mianownika przez z − 1 i też nic

Mila: Ten przykład zostaw. Gdzie znalazłeś to zadanie?

Piotr 10: Ok, więc widzę, że za trudne już robię dla mnie. Z książki ''Podstawowe wiadomości teoerytczne i cwiczenia dla studentow inzynierskich''. Mila jak będziesz to daj kilka zadanek( ze trzy ) jak możesz z liczb zespolonych, bo właśnie kończę ten dział

Kacper: np takie narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających równanie |z|+|z−1|=1

Piotr 10: To będzie elipsa( tak na szybko) ?

Kacper: pomyśl na powoli

Piotr 10: To będzie półprosta ? y=0 i x ≥ 0 ?

Kacper: to rozwiąż najpierw równanie |x|+|x−1|=1

Piotr 10: A po co ? źle ?

Piotr 10: Ix+yiI+Ix − 1 +yiI = 1 √x²+y² + √(x−1)²+y² = 1 √(x−1)²+y² = 1 − √x²+y² ( .. )² x² − 2x+1+y² = 1 − 2√x²+y² + x²+y² x = √x²+y² x ≥ 0 y²=0 y= 0 i x ≥ 0

Mila: Dla sprawności rachunkowej. 1) |z|−z=1+2i 2) |z|+z=2+i 3) z*ź+z−ź=3+2i (4 rozwiązania) 4) i*(z+ź)+i(z−ź)=2i−3

Piotr 10: Ok, dziękuję Mila. A jak z tym zadaniem podanym przez Kacpra ?

Piotr 10: 1) IzI − z = 1+2i √x²+y² − x − yi = 1+ 2i Przyrównuję teraz część rzeczywistą i część urojoną: √x²+y² − x = 1 −y=2 ⇒ y= − 2 Stąd: √x²+y² = 1+ x (..)² Założenie: 1+x ≥ 0 ⇒ x ≥ −1 x²+y² = (1+x)² x²+4 = 1+2x+x² 2x = 3 x= 1,5 ∊ Zał. Odp: z = 1,5 − 2i

Piotr 10: 2) √x²+y² + x+yi = 2+i √x²+y² + x =2 y=1 √x²+y² = 2 − x (..)² 2−x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2 x²+y² = 4 − 4x + x² 1= 4 − 4x 4x =3

	3
x=
	4

	3
Odp: z=		+ i
	4

Kacper: Podstaw sobie liczbę 5 i sprawdź, czy jest dobrze Szukaj błędu w twoich rachunkach

Kacper: Te dwa oczywiście masz dobrze od Mili

Piotr 10: No właśnie nie widzę błedu ( jak możesz to wskaż ). 3) z*ź + z − ź = 3+ 2i IzI²+ x+yi − (x − yi) = 3+2i x²+y²+2yi=3+2i y=1 x= √2 v x = − √2 z= √2 + i v z = − √2 + i Na pewno tutaj 4 rozwiązania 4) i(z+ź) + i(z−ź)= 2i − 3 iz+iź +iz − iź = 2i−3 2iz = 2i−3 2xi − 2y=2i−3 2x=2 ⇒ x= 1 y= 1,5 z=1+U{3}[2}i

Piotr 10: Tam na pewno w Twoim jest IzI + I z −1I = 1 ?

Kacper: tak na pewno zobacz kiedy wolno nam podnosić do kwadratu obie strony równania

Mila: 3) dobrze, źle odpisałam odpowiedź. Teraz dać układy, czy równania kwadratowe?

Piotr 10: Mila możesz dać jakieś trudniejsze troszkę. Równania kwadratowe to umiem chyba ( sama delta prawie, chyba że jakieś trudne ). Kacper 1 − √x²+y² ≥ 0 x²+y² ≤ 1 O to chodzi ? Ja będę później jak coś, bo wychodzę .

Mila: 1) z³+1=0 2) z³−1=0 3)z³+i=0

Piotr 10: 1) z³+1 = 0 z³+1³ = 0 (z+1)(z² − z + 1)=0 z+1=0 v z² −z +1=0 z = −1 z² − z + 1=0 Δ= 1 − 4 = −3 √Δ=√−3 = √−1*√3= √i²*√3= I i I√3 = √3i lub −√3i

	1+√3i		1 − √3i
z1=		v z2 =
	2		2

	1+√3i		1 − √3i
ODP: z = −1 v z =		v z=
	2		2

2) z³ − 1 = 0 (z−1)(z²+z+1)=0

	−1+√3i		−1 −√3i
z= 1 v z=		v z2=
	2		2

3) z³+i=0 i³= i²*i= − i i= − i³ z³ − i³ = 0 (z−i)(z² +zi+i²)=0 z= i z²+zi + i² = 0 z² + zi − 1=0 Δ = i² + 4 = −1+4=3

	−i+√3		−i − √3
z1=		v z2=		v z=i
	2		2

Trzeba jeszcze najlepiej sprowadzić rozwiązania do postaci kartezjańskiej, czyli

	−i+√3		√3		1
z1=		=		−		i .. itd
	2		2		2

Mila: To jest postać kanoniczna. Zaraz wpiszę następne. IzI + I z −1I = 1 jaka do tego odpowiedź?

Mila: Zbiory punktów na płaszczyźnie zespolonej. 1) z*ź+(1+i)*z +(1−i)*ź=0 2) z*ź−(2−i)*z−(2+i)*ź=0 3) z*z−(3−4i)*z−(3−4i)*ź+2=0

Mila: cd.

	|z−5|
4)		=1
	|z−1|

5)|z−1|=|1+5i−z| 6) |z+2|+|z−2|=4 7) |z+2|+|z−2|=5

Piotr 10: No właśnie nie wiem a propo tego zadania IzI+ Iz−1I=1 y = 0 i x ≥ 0 i x²+y² ≤ 1 ?

Mila: IzI+ Iz−1I=1⇔ |z−0|+|z+1|=1 Zapis oznacza ,że suma odległości punktu P(a,b) od punktów A=(0,0) i B=(1,0) jest równa 1. Punkty A i B są odległe od siebie o 1, zatem szukany zbiór punktów to odcinek AB. Czyli tak , jak Ci wyszło: y=0 i x≥0 i x≤1 W przypadku: IzI+ Iz−1I=2 zbiorem punktów będzie elipsa, spróbuj znaleźć jej wzór, w razie kłopotów pomogę.

Piotr 10: Mam coś takiego:

	3
12x2+16y2 = 9 + 12x i x2+y2 ≤ 4 i x ≥ −
	2

I coś mi tu nie gra, bo to chyba nie jest równanie elipsy:

x2		y2		9+12x
	+		=
16		12		192

Mila: 12x²−12x+16y²=9 /:12

	4		3
x2−x+		y2=
	3		4

	1		1		y2		3
(x−		)2−		+		=		⇔
	2		4		√3   ( )2   2		4

1   (x− )2   2		y2
	+		=1
1		√3   ( )2   2

alim:

Piotr 10: Ok, dziękuję. Nie wpadłbym na to, to przekształcenie. A te resztę zadań podanych przez Ciebie, to raczej bym zrobił, ale nie chce mi się pisać

Mila: /