geometria (linie proste ) 5-latek: Przesledzic nastepujace rozumowanie . NIech a₁ bedzie prosta . Oczywiscie a₁|| a₁ ROzwazmy dowolny uklad n+1 prostych a₁ a₂ a₃ ...... a_n, a_n+1 (n>=1 ) Jezeli kazde n prostych z tego ukladu nalezy do jednego kierunku to oczywiscie wszystkie n+1 prostych naleza do tego samego kierunku (patrz rysunek ) KOrzystajac z zasady indukcji udowodnilisny tym samym twierdzenie : Wszystkie proste plaszczyzny sa rownolegle . Znajdz blad w rozumowaniu . ( Mam do tego zadania wskazowke . Popelniono conajmniej dwa bledy )

WueR: Czy dowolny uklad n+1 prostych nalezacych do jednego kierunku to oby na pewno wszystkie proste nalezace do plaszczyzny?

WueR: 2. Zalozenie indukcyjne − n prostych nalezy do jednego kierunku. Wiec trzeba pokazac, ze n+1 prostych nalezy do tego samego kierunku. Ale rozwazamy dowolny uklad n+1 prostych, wiec czy koniecznie (n+1)−sza prosta musimy dobrac tego samego kierunku?

5-latek: Witam ja mysle ze tak . Bo skoro a₁ nalezy do tego ukladu n+1 to wszyskie proste tego uklady tworza plaszcyzne . jednak moge sie mylic jesli cos wymyslisz (a napiszsez pozniej ) to zobacze okolo 23 jak wroe z przacy

WueR: n+1 calej plaszyczny raczej nie wygeneruje, bo to skonczona ilosc. Zeby wygenerowac cala plaszczyzne, to oczywiscie wystarczyly by same proste rownolegle, ale musialo by ich byc nieskonczenie wiele.

5-latek: Tak masz racje (nie wzialem tego pod uwage ze to bedzie ilosc skonczona)

WueR: A ponadto tak jak wczesniej wspomnialem, sama indukcja jest blednie przeprowadzona. Warunek pierwszy jest spelniony, bo a₁||a₁, pozniej zakladamy, ze n prostych nalezy do jednego kierunku, wiec w drugim kroku musimy pokazac, ze n+1 prostych jest takich. W zalozeniu bylo, ze rozwazamy dowolny uklad prostych, wiec ta (n+1) − sza prosta wcale nie musi byc tego samego kierunku, co te n z zalozenia indukcyjnego.

5-latek: A myslisz ze mozemy tutaj w tym przypadku stosowac twierdzenie o indukcji? (tak mi teraz przyszsedl taki pomysl do glowy)

WueR: Hmm, w sumie nie wiem, czy ja cos nie pokrecilem teraz. Bo tam jest, ze dowolne n prostych z tego ukladu jest tego samego kierunku. To by w sumie znaczylo, ze n+1 rowniez jest tego samego kierunku.

5-latek: Post 12:59 −Pewnie bedziesz mial racje . Teraz muszse wyjechac do pracy (moze cos przy maszynie wymysle ) i dam znac co

5-latek: WueR Jeszc przed wyjazdem do pracy spojrzalem w inny zbior zadan i znalazlem rozwiazanie tego zadania . Piszsa tak : Popelniono dwa bledy : 1. przy przejsciu od n=1 do n=2 (prosta a₁ nalezy do (a₁ ) a₂ nalezy do (a₂) ale proste a₁ i a₂ nie musza nalezec do tego samego kierunku. (wiec Ty miales racje ) 2. Wiadomo ze prostych plaszczyzny nie mozna ponumerowac liczbami naturalnymi,d .latego tez nie mozna stosowac twierdzenia o indukcji jak sie na to zapatrujesz?

WueR: Co do 2. to wszystkich prostych o danym kierunku na pewno nie mozna ponumerowac, ja po przeczytaniu tresci wyobrazilem sobie, ze po prostu wybieramy te n czy n+1 prostych z wszystkich prostych o jednym kierunku. Stad moj post z 12:34 i uwaga (moze tam nie dosc klarowna, bo to byla raczej wskazowka), ze jesli chcemy dowiesc czegos dla wszystkich prostych, to rozwazamy wszystkie proste, a nie jakas ich czesc.

5-latek: Na razie sobie odpuszcam rozwiazywanie zadan z geometrii. Musze odpoczac i potem sie wziac za przeksztalcenia izometryczne. Powodzenia

b.: Co do błedu nr 2 nie jestem przekonany: wszystkie proste (z jakiegoś zbioru prostych) są równoległe oznacza − jak na mój gust − tyle, że dowolne dwie proste (z tego zbioru) są równoległe. Równoległość jest relacją równoważności. Liczność zbioru nie ma tu nic do rzeczy.

5-latek: czesc b W drugim bledzie chodzi o numeracje prostych(liczbami naturalnymi ) ,a nie ich ilosc

Maslanek: Problem w błędzie nr 2 jest taki, że ilość prostych jest nieprzeliczalna (mocy continuum), zaś zbiór liczb naturalnych jest przeliczalny (mocy alef 0) Te dwa zbiory nie są równoliczne, więc nie można pokazać tej relacji równoważności (tutaj zachowania kierunku, równoległości) poprzez zasadę indukcji matematycznej.

daras: a czy 1 i 2 prosta z tego gatunku są do siebie ||

b.: @5−latek, Maslanek: No dobrze, to co to znaczy, że zbiór prostych, oznaczmy go przez A, jest zbiorem prostych równoległych?