. Piotr 10: Oblicz: ⁴√−8+8√3*i Czy tutaj trzeba skorzystać z dwumianu Newtona ⁴√−8+8√3*i = z 8√3i − 8 = z⁴ z=a+bi (a+bi)⁴ = ..

Godzio: Zdecydowanie nie

Piotr 10: To jak ?

ICSP: Piotrze, może zaczniesz od bardziej podstawowych zadań z liczb zespolonych ?

Piotr 10: Tzn. ? Możesz podać jakiś przykład ?

Janek191: z = − 8 + 8√3 i zapisać w postaci trygonometrycznej , a następnie obliczyć cztery pierwiastki 4 stopnia z liczby z Wzór

	α + 2π k		α + 2π*k
zk= n√ I z I *( cos		+ i sin		)
	n		n

k = 0,1, 2,3,4, ...n − 1

Piotr 10: aaa w ten sposób, czyli dużo liczenia, dzięki Janek191

Godzio: Proszę:

	1		√3
z4 = −8 + 8√3i = 16(−		+		i)
	2		2

	2
|z| = 16, φ0 =		π
	3

	φ0 + 2πk		φ0 + 2πk
zk = 4√|z| * (cos(		) + isin(		))
	4		4

	2		2
z1 = 2 * (cos		π + isin		π)
	12		12

	8		8
z2 = 2 * (cos		π + isin		π)
	12		12

	14		14
z3 = 2 * (cos		π + isin		π)
	12		12

	20		20
z4 = 2 * (cos		π + isin		π)
	12		12

	π		π
z1 = 2 * (cos		+ isin		)
	6		6

	2		2
z2 = 2 * (cos		π + isin		π)
	3		3

	7		7
z3 = 2 * (cos		π + isin		π)
	6		6

	5		5
z4 = 2 * (cos		π + isin		π)
	3		3

	√3		1
z1 = 2 * (		+		i) = √3 + i
	2		2

	1		√3
z2 = 2 * (−		+		i) = − 1 + i√3
	2		2

	√3		1
z3 = 2 * (−		−		i) = − √3 − i
	2		2

	1		√3
z4 = 2 * (		−		i) = 1 − i√3
	2		2

Godzio: Dla dokładności powinienem numerować z₀, z₁, z₂, z₃ bo w przeciwnym razie rozwiązania nie pokryją się ze wzorkiem . Generalnie schemat, jak ktoś ogarnia wzory redukcyjne to banalne zadanie

ICSP: Nauczyć się wykonywać proste działania na liczbach zespolonych

Piotr 10: Ok, dzięki. ICSP a co masz na myśli ? Możesz konkretniej ?

ICSP: dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić ? Przechodzić swobodnie między trzema postaciami liczby zespolonej ?

Piotr 10: np takie cos:

(1+i√3)15
	?
(1+i)10

Godzio: Wzory de Moivre'a, postać trygonometryczna.

Piotr 10: To chyba umiem. Tak mi wydaje się

asdf: ((1+i)²)⁵ = (1+2i+i²)⁵ = (2i)⁵ = 32i⁵ = −32i³ = 32i

Piotr 10: asdf ja ten przykład to zrobiłem

ICSP: coś prostszego Weźmy dwie liczby zespolone : z = 5 − 2i w = 3 + 4i Policzyć wartość wyrażenia :

Re(z) + i * Im(w)
z + w

oraz : i⁴ i¹³ i⁵³ iⁿ

Godzio: Warto jeszcze wiedzieć ile wynosi iⁿ dla poszczególnych n.

asdf: spoko, chcialem Ci pokazac jak to mozna w miare szybko obliczyc.

Piotr 10: Godzio mam to w wordzie już zapisane

Mila: W głowie zapisz.

Piotr 10:

	24+11i
..=		?
	34

ICSP: Liczyć umiesz, teraz proste równania : z² = 4ź gdzie ź jest liczba sprzężoną do z

Piotr 10: i⁴ = 1 bo reszta z dzielenia liczby 4 przez 4 wynosi 0 i¹3= i 13 = 4*3 + 1 bo reszta z dzielnia liczby 13 przez 4 wynosi 1 i⁵3 = i 53 = 13*4 + 1 bo reszta z dzielnia liczby 53 przez 4 wynosi 1

Piotr 10: IzI²= z * ź z² = IzI² z * ź = 4 ź ( :ź ) z = 4 Mogę tak podzielic sobie ?

ICSP: x² − 1 = x − 1 (x−1)(x+1) = (x−1) // : (x−1) x+1 = 1 x = 0 Mogę tak podzielić ?

Piotr 10: Nie

ICSP: Sam sobie odpowiedziałeś

Piotr 10: z*ź = 4 ź ź( 4 − z ) =0 z= 4 v ź=0 I co teraz jeśli mi wyszło, że ź=0 ? jest to liczba czysto rzeczywista

ICSP: ź = 0 = z

ICSP: Ostatecznie dostajesz dwie liczby spełniające to równanie : z = 4 v z = 0

Piotr 10: ok, masz jeszcze coś ? A i czy te zadanka są w porządku http://wms.mat.agh.edu.pl/~zrr/zespolone/ ?

ICSP: Troszkę zadań mam

Piotr 10: To daj jak możesz ( tylko nie trudne, bo dopiero dziś wieczorem zacząłem ogarniać liczby zespolone )

ICSP: Znaleźć rzeczywiste liczby x,y spełniające równanie :

x + yi		9 − 2i
	=
x − yi		9 + 2i

Piotr 10: Ok ja z/w

Piotr 10: (x;y) ⇔ ( 9;2) v (−9;−2) ?

ICSP: tylko tyle ?

Piotr 10: Chyba tak

Piotr 10: oj Sorrki to nie wyszstkie

ICSP: a gdybym przemnożył licznik i mianownik drugiego ułamka przez 2 ?

Piotr 10: (9;−2) v (−9; 2) −− moja ostatenczna odpowiedź A ile tych rozwiązań powinno być ?

ICSP: W takim razie proponuję wymnożyć na krzyż

Godzio: A nie ma ich nieskończenie wiele ?

Piotr 10: Ja to inaczej robiłem trochę: Lewa strona:

x+yi		x2+2xyi −y2
	=
x−yi		x2+y2

Prawa strona:

9−2i		77−36i
	=
9+2i		85

No i teraz układ 3 równań: x² − y² = 77 2xy = −36 x²+y²=35 Tak nie można ?

ICSP: lubisz się bawić

Piotr 10: x²+y² = 85

Piotr 10: E tam bawić, od razu to mi przyszło do głowy No i teraz: 1⁰ i 3⁰ dodając stronami: 2x² = 162 x=9 v x= −9 z tego y=2 y = −2 wiemy, że xy= − 18 zatem (9;−2) v ( − 9;2)

ICSP: Nie można tak.

Piotr 10: Czemu ?

ICSP:

2		4
	=		− prawda.
5		10

Co się stanie gdy porównasz mianownik z mianownikiem oraz licznik z licznikiem (bez wcześniejszego skrócenia )

Piotr 10: Rozumiem, eh niewypał

Godzio: ICSP zaproponował "na krzyż". Skorzystaj z tego

Piotr 10: Dobra, ok. Jutro dokończę. W takim razie, dzięki wam za pomoc

Godzio: Rozwiązanie zajmuje powiedzmy 2 min dla niewprawionych