Granica górna i dolna - pytanie: definicja Mia : Cześć, mam takie pytanie dotyczące definicji granicy górnej i dolnej. Jak odycztać ten zapis: liminf a_n = sup _n>0 inf_k≥n a_n konkretnie prawa strona równości − najpierw szukamy supremum, jak już je mamy to infimum z a_n? czy "od środka" najpierw idziemy po infimach, a potem szukamy supremum z n? Pomóżcie, pls

b.: po prawej na końcu powinno być a_k najpierw szukamy supremów z a_k po k≥n i dostajemy pewien ciąg zależny od n, a potem bierzemy infimum, ale nie z a_n, tylko z tych supremów −− tak jak jest napisane

Mia : ok, powinno być a_k, mój błąd, ale Ty chyba nie mówisz poprawnie, bo dlaczego mamy barć suprema po a_k?

b.: masz rację, nie mówię poprawnie: zamień suprema z infimami w tym co napisałem (napisałem tak jak dla limsup)

Mia : ok, b. dzięki jednak mimo wszystko jest to dla mnie trochę dziwne, tj najpierw szukamy infimów z a_k po k≥n i dostajemy pewien ciąg zależny od n, a potem bierzemy supremum, ale nie z an, tylko z tych infimów −− Twoja wersja z poprawką moje "ale" dotyczy tego, że jakim cudem, konkretnie po co?, bierzemy infima, a z nich suprema i to jest właśnie granica górna? nie lepiej wziąć po prostu ciąg supremów zdążający do nieskończoności? chodzi mi o to, czy mogłabym prosić o taki słowny, przemawiający do wyobraźni opis tego czym jest granica górna stricte na podstawie tej definicji, tu przedstawionej, bardzo proszę

b.: > konkretnie po co? Konkretnie po to, żeby dostać granicę dolną czy górną, a nie coś innego. Spróbuj popatrzeć na przykłady: a_n = (−1)ⁿ (1+¹_n) narysuj sobie, znajdź: inf_k≥n a_k (to będzie −(1+¹_k) dla k nieparzystych, −(1+¹_k+1) dla parzystych) oraz sup_n (inf_k≥n a_k) (to będzie −1). > nie lepiej wziąć po prostu ciąg supremów zdążający do nieskończoności? Można zamiast sup_n wziąć lim_n, tzn. liminf a_n = lim_n inf_k≥n a_k , bo ciąg (inf_k≥n a_k) jest rosnący (słabo), więc jego supremum jest równe granicy, która istnieje (ze względu na monotoniczność). Pewną zaletą brania supremum zamiast granicy jest to, że supremum zawsze istnieje (ma sens), a granica nie −− wobec tego w definicji z sup inf jest oczywiste, że liminf a_n zawsze istnieje, a w definicji z lim_n inf_k≥n trzeba się chwilkę zastanowić. Poza tym lepiej to wygląda, bo bardziej się odróżnia od liminf Ale to raczej drobiazgi.

Mia : Ok, muszę przeanalizować to co napisałeś Dziękuję serdecznie za pomoc. W razie wątpliwości bądź nowych pytań, ponowię temat. Jeszcze raz dzięki