macierz zadanie: Napisz macierz symetryczna 3X3, ktorej wartosciami wlasnymi sa −3 i 4 oraz E₄ jest plaszczyzna x−2z=0. wektory wlasne macierzy symetrycznej sa prostopadle. a b c b d e c e f t=−3 a+3 b c b d+3 e c e f+3 t=4 a−4 b c b d−4 e c e f−4 jakies podpowiedzi?

zadanie: myslalem, zeby ulozyc macierz diagonalna z podanych wartosci wlasnych (ale sa tylko 2 to ktora jest podwojna?) i potem macierz przejscia z wektorow wlasnych

zadanie: ?

MQ: 1. Co to jest E₄? 2. Nie musisz podwajać wartości własnych − po prostu trzecia ww może być dowolna.

zadanie: E₄ to przestrzen wlasna dla wartosci wlasnej 4, w tym przypadku jest to plaszczyzna x−2z=0.

zadanie: czy dobrym pomyslem bedzie znalezc te macierz (niech bedzie A) ukladajac macierz diagonalna (D) i potem macierz przejscia (P) w sensie (A=PDP⁻¹)?

MQ: Skoro E₄ to podprzestrzeń do wartości własnej 4, to właśnie wartość własną 4 masz podwójną i wektory własne napinają tę przestrzeń. Tak więc: 1. Wektor własny do wartości własnej −3 jest prostopadły (normalny) do płaszczyzny E₄. 2. Wektory włane do wartości własnej 4 leżą w płaszczyźnie e₄ i możesz je wybrać dowolnie, byle tylko były do siebie ortogonalne (prostopadłe). 3. Jeśli chcesz mieć bazę ortonormalną, to jeszcze musisz znormalizować te wektory.

zadanie: dla t=−3 wektor wlasny to X₁=(1, 0, −2) jest on prostopadly do plaszczyzny (to wektor normalny tej plaszczyzny) dla t=4 wektor wlasny to X₂=(2, 0, 1) ale tego trzeciego juz nie moge znalezc bo np. do tego wektora bedzie prostopadly wektor (−1, 0, 2) ale on nie nalezy do tej przestrzeni moze iloczyn wektorowy wektorow X₁ i X₂ wtedy wyjdzie (0, −5, 0) ale y w plaszczyznie jest zerem a tutaj y=−5 jak wyznaczyc ten trzeci wektor?

zadanie: ?

MQ: [0 −5 0] należy do E₄

zadanie: ok ale dlaczego?

MQ: Bo cała oś OY zawiera się w E₄. Ty patrzysz na to 2−wymiarowo, a masz problem 3−wymiarowy.

zadanie: dziekuje jeszcze mam takie pytanie skad wiadomo, ze wartosc wlasna 4 jest podwojna?

MQ: Bo w warunkach zadania masz napisane, że E₄ jest płaszczyzną, więc podprzestrzeń wartości własnej 4 jest dwuwymiarowa. Z każdą wartością własną związana jest podprzestrzeń napinana na związanych z nią wektorach własnych. Płaszczyznę musisz napiąć na 2 wektorach, więc 4 jest podwójną wartością własną, bo ma 2 wektory własne.

zadanie: dziekuje

zadanie: wyszlo mi tak

	19		14
−		0
	5		5

A= 0 4 0

	14		8
		0 −
	5		5

jest symetryczna wiec najprawdopodobniej dobrze

zadanie: jak sprobowac narysowac te plaszczyzne x−2z=0 ? chce ja sobie wyobrazic

MQ: Prostopadła do płaszczyzny XZ, przechodzi przez oś OY i prostą x−2z=0

zadanie: dziekuje

zadanie: mam pytanie 4 jest wartoscia wlasna podwojna tw. : jezeli macierz jest symetryczna to dla roznych wartosci wlasnych istnieja odpowiadajace im prostopadle wektory wlasne. no wlasnie ale dla roznych wartosci wlasnych a 4 jest z podwojna krotnoscia a mimo to sa dla tej wartosci wlasnej dwa wektory prostopadle. jak to sie ma do tego twierdzenia?

zadanie: ?

Mila: Jak leci? Jakie wrażenia po pierwszym roku?

Mila: Powodzenia. Korzystasz ze Skoczylasa? jest w pdf.