proszę o sprawdzenie michał: rozwiąż rownanie 4sin ^x₂ + cosx = 3 ja to rozwiązałem tak 4 (√^{1− cosx}₂ + cosx =3 / ( )² 16* ^{1− cosx}₂ = 9 − 6cosx + cos²x po uporządkowaniu otrzymałem cos²x + 2cosx +1 =0 cosx=t t² + 2t +1 =0 Δ = 0 t= −1 czyli cosx=−1 x=π + 2kπ mam prośbę gdzie popełniam błąd bo wynik jest x= (4k+1)π

Eta:

	x
podstaw : cosx= 1−2sin2
	2

	x		x
otrzymasz : sin2		−2sin		+1=0
	2		2

	x
(sin		−1)2=0
	2

	x		π
		=		+2kπ /*2
	2		2

x=π+4kπ= (4k+1)*π . k∊C

michał: ale czy tak ja rozwiązałem nie można

michał: z jakiego wzoru obliczyłeś cosx

Eta:

	x		1−cosx
sin		=√
	2		2

	x		1−cosx
sin2		=		/*2
	2		2

	x		x
2sin2		=1−cosx ⇒ cosx=1−2sin2
	2		2

lub tak : cos(2α)=cos²α−sin²α= 1−2sin²α

	α
to: cosα=1−2sin2
	2

michał: dziękuję ale jeszcze mam jedno pytanie bo siedzę nad nim dość długo 3sin²x + `1 = 2( 1+ 0,25 sin²2x)

Eta: Zastosuj : sin²(2x)= (2sinx*cosx)²= 4sin²x*cos²x=4sin²x(1−sin²x)=4sin²x−4sin⁴x

michał: po podstawieniu otrzymałem 1 −5 sin²x + 2sin⁴x = 0 czy mam podstawić za sinx =t to wtedy 1− 5t² + 2t⁴ =0

michał: nastąpiła pomyłka bo po podstawieniu jest − sin²x − sin⁴x +1 =0

michał: chyba jestem zmęczony bo znowu jest błąd a powinno być 2sin⁴x + sin²x −1 = 0 i co dalej

Eta: Sprawdź jeszcze raz rachunki..... ma być: 2sin⁴x+sin²x−1=0 ⇒ (sin²x+1)(2sin²x−1)=0 dokończ........

Eta: No i teraz dokończ .......

michał: wielkie dzięki już sobie dam radę

Eta: I tak trzymaj ...

Mila: Zadanie 1) Michał w Twoim sposobie potęgowałeś pierwiastek i otrzymałeś nadmiar rozwiązań, pierwiastki obce. Zawsze jest ryzyko z pierwiastkowymi równaniami i trzeba sprawdzać dziedzinę równania, albo czy spełnione jest równanie. Twoje rozwiązania: π, 3π, 5π,7π,... spr.

	π
L=4*sin		+cosπ=4−1=3
	2

x=3π

	3
L=4*sin		π+cos(3π)=4*(−1)−1=−5
	2

dalej sprawdzając zobaczysz, że rozwiązania to x=π+4kπ Zastanów się jak i naczej ten problem rozwiązać, w momencie, gdy otrzymałeś cosx=−1. Sposób Ety jest bezpieczny.

fachowiec:

	x		x
4sin		+ cosx = 3, cosx = 1 − 2sin2
	2		2

	x		x
4sin		+ 1 − 2sin2		= 3
	2		2

	x		x
2sin2		− 4sin		+ 2 = 0
	2		2

	x		x
sin2		− 2sin		+ 1 = 0
	2		2

	x
(sin		− 1)2 = 0
	2

	x
sin		= 1
	2

x		π
	=		+ 2kπ
2		2

x = π + 4kπ

Mila: Eta rozwiązała. Ja odpowiedziałam Michałowi na pytanie 22:

Eta: Ejj fachowiec zobacz wpis 21:43 (

AS:

	x
Podstawienie:		= y , x = 2*y
	2

4*sin(y) + cos(2*y) = 3 4*sin(y) + 1 − 2*sin²(y) = 3 sin²(y) − 2*sin(y) + 1 = 0 (sin(y) − 1)² = 0 sin(y) = 1 resztę dokończ

michał: ( sin²x +1) ( 2sin²x−1)=0 ( sin²x +1) =0 lub ( 2sin²x−1)=0 sin²x =−1−sprzeczność lub 2sin²x =1⇒ sin²x = ¹₂ ⇒ x= ^√2₂ lub x= − ^√2₂ x = ^π₄ + ^kπ₂ ale w odpowiedzi są jeszcze x= ^π₁₂ + kπ lub x = ^5π₁₂ +kπ nie wiem jak do tego dojść

pigor: ... chyba pokićkały ci się ... odpowiedzi, bo dla mnie sin²x=¹₂ ⇔ |sinx|=¹₂√2, a stąd i np. wykresu y=|sinx| ⇔ ⇔ x= ¹₄π+kπ v x= ⁵₄π+kπ i tyle, −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− albo "po bożemu" : |sinx|=¹₂√2 ⇔ sinx=−¹₂√2 v sinx=¹₂√2 ⇔ ⇔ x= −¹₄π+2kπ v x=π+¹₄π+2kπ v x= ¹₄π+2kπ v x=π−¹₄π+2kπ ⇔ ⇔ x= −¹₄π+2kπ v x=⁵₄π+2kπ v x= ¹₄π+2kπ v x=³₄π+2kπ . ...

pigor: ... albo podaj oryginalne (pierwsze) równanie trygonometryczne, a nie to (sin²x+1) (2sin2x−1)= 0 do którego − jak sądzę − doszedłeś.

michał: przepraszam rzeczywiście odpowiedż była z innego zadania dziękuję