Granica jakubs:

	3n
limn→∞
	√9n+n2010

Nie wiem jak się za to zabrać.

sushi_ gg6397228: która funkcja f(x)= x²⁰¹⁰ czy g(x)=9^x jest szybciej rosnąca ?

jakubs: f(x)

sushi_ gg6397228:

f(x)
	i de Hospital 2010−razy i wyjdzie.....
g(x)

jakubs: Reguły de l'Hospitala jeszcze nie znam, ale zaznajomię się i spróbuję zrobić to zadanko. Dzięki

Godzio: a > 1

xk
	→ 0 gdy x → ∞
ax

Saizou : Godzio a jak to pokazać, czy skorzystać z tego od tak ?

jakubs:

	3n
limn→∞
	3n√1+n20109n

	1
limn→∞		=1
	1+√1+0

Dobrze ?

Saizou : ja sobie to zapisałem tak

	3n
limn→+∞		=
	√9n+22010

	9n
limn→+∞(		)1/2=
	9n+n2010

	9n		n2010
limn→+∞(		+		)−1/2=
	9n		9n

	n2010
limn→+∞(1+		)−1/2=
	9n

lim_n→+∞(1+0)^−1/2=1

Ada: jakubus reguła d'Hospitala 2010 razy to nie jest dobry pomysł. Zresztą, żeby korzystać z niej na ciągach musisz to uzasadniać z definicji granicy funkcji Heniego. Jeżeli nie widzisz od razu która funkcja rośnie szybciej, spróbuj twierdzenia o trzech ciągach. O co chodzi w twierdzeniu: Jeżeli trzy ciągi spełniają nierówność: a_n≤ b_n ≤c_n oraz lim a_n = lim c_n = γ − istnieje granica właściwa, to lim b_n = γ Szkic dowodu na rysunku, ogólnie chodzi o to, że jeżeli ciąg (a_n) − czerwone kropki zmierza do γ i ciąg (b_n) zmierza do γ, to ciąg między nimi, też musi zmierzać do γ. Mam nadzieję, że nie namotałam ci

jakubs: Ada twierdzenie o trzech ciągach znam. Dziękuje za napracowanie się

	n2010
Granicę obliczyłem, ale chciałbym zrozumieć dlaczego		→0 przy n→∞ ?
	9n

Godzio: Saizou wypada pokazać (jednak na studiach, gdzie analiza jest ogólnouczelniana raczej nie trzeba). Mogę pokazać dowód jeśli chcesz

Saizou : ja jeszcze się nie wziąłem za granice, ale pewnie jakubs by chciał czekam za wynikami za studia

jakubs: Saizou kiedy wyniki ? Ja mam w środę i czwartek.

Saizou : 10 lipca na PWr a do 6 chyba na PP

jakubs: To mniej więcej podobne terminy

Saizou : pożyjemy zobaczymy xd

Godzio: Najprościej skorzystać z tego:

	an+1
Jeśli an > 0 i limn→∞		= a < 1 to limn→∞an = 0
	an

A to już nieco prościej udowodnić.

	an + 1
|		− a| < ε
	an

	an + 1
− ε + a <		< ε + a
	an

(−ε + a)a_n < a_{n + 1} < (ε + a)a_n Teraz działa rekurencja (interesuje nas prawa strona tylko). Wystarczy, że ε + a < 1 ... Próbuj

jakubs: Nie no to jednak za wysoki poziom dla mnie. Nie wiem jak to rozkminić

Godzio: Nie wiesz jak dokończyć, czy nie wiesz o co chodzi w tym dowodzie?

jakubs:

	an+1
Nie kapuję tego dowodu. Zakładasz, że limn→∞		=a i an>0 i udowadniasz, że
	an

lim_n→∞ a_n=0 Nie wiem jak to odnieść do tego przykładu:

	n2010
Myślałem, że trzeba pokazać, że limn→∞		=0
	n9

Godzio:

(n + 1)2010		9n		1		n + 1		1
	*		=		* (		)2010 →		< 1
9n+1		n2010		9		n		9

	n2010
więc		→ 0
	9n

asdf:

	n2010
lim(n−>inf)		= inf.
	n9

jakubs: asdf http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n^%282010%29%2F9^n

jakubs: Soory, źle popatrzyłem Masz oczywiście rację.

Godzio: Źle przepisałeś w poście 23:37 i asdf tak przeczytał

jakubs: No tak Już sam schemat dowodu rozumiem, tylko dalej jakoś tego klarownie nie widzę, że dla a<1 lim_n→∞ a_n=0 Muszę to jeszcze porządnie przemyśleć.

Godzio: Dowód nie jest dokończony jeszcze, może dokończę, żeby było porządnie Mamy: a_{n + 1} < (ε + a)a_n Rekurencyjnie idziemy dalej: 0 < a_{n + 1} < (ε + a)a_n < (ε + a)²a_{n − 1} < ... < (ε + a)^{n − N + 1}a_N a_N − ustalony wyraz, przechodzimy teraz z n do nieskończoności i mamy, że (ε + a)^{n − N + 1}a_N → 0 gdy tylko ε + a < 1 stąd a_n → 0

asdf: ja bym to zrobił troche niestandardowo: http://www.algorytm.org/kurs-algorytmiki/zlozonosc-obliczeniowa.html http://www.algorytm.org/kurs-algorytmiki/rzedy-wielkosci-funkcji.html nie wiem czy na kazdych studiach technicznych tego ucza, ale na informatyce tak.

asdf: ten wykres jest dobry: http://www.algorytm.org/images/stories/kurs/wykres_zlozonosci.jpg

Godzio: Zależy czy robi to matematyk czy reszta świata W pierwszym przypadku raz trzeba to udowodnić, a później mówić, że dowolny wielomian rośnie wolniej niż dowolna funkcja wykładnicza o podstawie większej od 1

asdf: wykorzystując rzędy wielkości (drugi link) mozna to udowodnić, tylko wlasnie to juz jest ta "reszta swiata"

jakubs: Powoli rozumiem, ale ciężki jak dla mnie ten dowód. Rekurencję, to chyba pierwszy raz na oczy widzę. Dziękuję Godzio !

asdf: żeby zrozumiec rekurencje trzeba pierw zrozumiec rekurencje...tak to dziala Przyznam szczerze, ze (też?) na poczatku mialem z tym problemy, tylko w troche innej dziedzinie, tzn. rozumialem, tylko nie wiedzialem, ze to rozumiem

jakubs: Może przyjdzie czas, że to porządnie zrozumiem

Powtórka: Wlasnie mamy przyklad tutaj Jakubs jest tegorocznym maturzysta. Granic ciagow nie bylo w programie Zamiast sie brac za liczenie granic z definicji i potem prostych granic to odrazu sie bierze za takie . Zycze w takim razie powodzenia we flustracji I na koniec. Biora sie za granice bo mysla ze to jest latwe a czy znaja definicje granicy ? Czy wiedza co to jest sa siedztwo czy otoczenie punktu . czy znaja dobrze te dwie definicje ?

Powtórka: Mialem napisac sąsiedztwo itd

Paulina: A Ty Powtórka kim tu jesteś, że ludzi oceniasz i ich uczysz ? Z tego co widzę tylko się mądrujesz bo zadania żadnego nie zrobiłeś/aś. Więc lepiej pilnuj swojego nosa

jakubs: Liczyłem już proste granice oraz znam definicję. Znalazłem ten przykład przez przypadek(www.math.uni.wroc.pl/~jwr/2012/Analiza/lista3.pdf) i nie mogłem go rozwiązać dlatego napisałem. Oczywiście lepiej się wypowiadać nie znając kogoś i jego wiedzy.

Powtórka: Pytasz mnie kim jestem ?. Otoz jestem juz dojrzalym czlowiekiem (nie powiem czy mezszcyzna czy kobieta) Ciebie akuratnie Paulina znam (przy okazji dyskusji o Ukrainie (Ciebie wtedy to nie interesowalo tylko matura ) Prawda? Poza tym jestes tegoroczna maturzystka i wlasnie (teraz cie ocenie) pokazalas ze nie umiesz czytac ze zrozumieniem − dlatego moze nie zdalas matury (pisze moze bo nie wiem ) . I co znasz te definicje ? Pokaz gdzie ja ocenilem Jakubsa jaki on jest . napisalem tylko ze bierze sie za rzeczy trudne a podstawy w lesie Poza tym ja wiem ze jego mam studiowala wiec tez ma po niej ksiazki . Ale co innnego miec ksiazki i co innego zagladac do nich Pomimo tego zycze CI powodzenia . Pod innym nickiem pomagalem

Powtórka: MIalo byc pomagalem/am

jakubs: Nie ośmieszaj się piszesz "Mialem " o 9:18. Teraz nagle nie chcesz ujawnić swojej płci. Sam nie umiesz czytać ze zrozumieniem, ponieważ znowu piszesz, że mam podstawy w lesie. Pisz jak chcesz, ale ja oglądałem kurs z PWr odcinek po odcinku i zaznajomiłem się z teorią tzn. z definicjami, a także robiłem przykłady. Jak poszukasz w archiwum forum to zobaczysz, że pomagałem innym w graniach.

Powtórka: Tak Jakubs jestem mezszcyzna . Dobrze mnie rozszyfrowales Nawet wiem ze pomagales maturzystom (wiec nie muszse szukac na forum ) Pozdrawiam (juz mialem napisac swoj dawny nick)

jakubs: Nie wstydź się i napisz

Powtórka: A teraz napisze CI dlaczego tak napisalem . Otoz uczniowie (99.9% ) maja w 5 literach to czego nie ma w programie i sie tego nie ucza (nawet dla siebie ) . pytaja a czy obowiazuje na rozszerzeniu . na podstawie ? Przyklad indukcja matematyczna , symbol Newtona , i inne Wiec zalozylem to samo . jesli umiesz to chwala CI za to ze nie musisz sie uczyc w wakacje granic czy innych rzeczy zeby miec potem nie tak ciezko na studiach Zobacz tak wlasnie teraz robi bezendu(uczy sie granic pochodnych− to co dostal od Mili ) i do tego jeszce pracuje

Powtórka: Jeszcze sie nie domyslasz ?

Powtórka: Wlasnie tez materialy z PWr (bo Mila jest fanka matematykow wroclawskich

jakubs: Za klika dni rekrutacja na studia. Póki co ostro za naukę się nie brałem. To tak raczej w ramach rozrywki, bo nie wiedziałem, czy się na studia dostanę. Za klika dni już wszystko będę wiedział czy jest do czego się przygotowywać

Powtórka: Pewnie ze sie dostaniesz . I pewnie razem z bezendu sie spotkacie na uczelni

jerey: Powtórka to chyba n−latek