Znale ́z ́c wszystkie takie funkcje r ́o ̇zniczkowalne f : (0 , ∞ ) −→ (0 , ∞ ) arawenna: Znaleźć wszystkie takie funkcje różniczkowalne f:(0,∞)→(0,∞), że dla każdego t>0 na stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P=(t, f(t) )leży punkt postaci (a,0)= A, a >0 i punkt postaci (0,b)=B, b>0 przy czym punkt P jest środkiem odcinka AB.

Ada: Korzystając z faktu, że współczynnik nachylenia prostej a jest równy pochodnej w punkcie (o ile taka pochodna istnieje). Zakładamy, że f(t) jest różniczkowalna w przedziale (0; +∞), czyli styczna jest postaci: y = f'(t) + β Wiemy też, że do stycznej należą punkty A i B, więc: f'(t) = a, β = b Oraz wiemy, że P jest środkiem odcinka AB, czyli współrzędne spełniają zależność:

	a		b		f'(t)		β
(t, f(t) ) = (		,		) = (		,		)
	2		2		2		2

Mamy równanie:

	f'(t)
t =		⇒ f(t) = t2+C
	2