równania różniczkowe adam: wyznacz całkę ogólną równania x"(t)−x'(t)−2x(t)=e⁻2t ,x(0)=x³(0)=0

M:

Mariusz:

	1
s2X(s)−sX(s)−2X(s) =
	s+2

	1
(s2−s−2)X(s) =
	s+2

	1
X(s) =
	(s2−s−2)(s+2)

	1
X(s) =
	(s+2)(s+1)(s−2)

A		B		C		1
	+		+		=
s+2		s+1		s−2		(s+2)(s+1)(s−2)

A(s+1)(s−2)+B(s+2)(s−2)+C(s+2)(s+1) = 1 A(s²−s−2)+B(s²−4)+C(s²+3s+2) = 1 (A+B+C)s²+(−A+3C)s+(−2A−4B+2C) = 1 A+B+C = 0 −A+3C = 0 −2A−4B+2C = 1 A=3C B+4C=0 4B+4C = −1 A=3C B=−4C 12C=1

	1
A =
	4

	1
B=−
	3

	1
C=
	12

	1	1		1	1		1	1
X(s) =			−			+
	4	s+2		3	s+1		12	s−2

	1		1		1
x(t) =		e−2t−		e−t+		e2t
	4		3		12