jerey: granica ciągu na podstawie def. korzystając z def granicy ciagu uzasadnic równosci:

	2n
limn→∞		=2
	n+1

	2n		2
|		−2|<ε ⇒ |		|<ε
	n+1		n+1

	1
N= 'sufit'		−1
	ε

n>N

	2		2
|		|<|		|
	n+1		N+1

	2		2
|		|<|		|
	N=1		'sufit' 2ε−1+1

	2
|		|<ε
	n+1

teraz taka: lim_n→∞log_n+15=0 |log_n+15−0|<ε |log_n+15|<3 n>N N= i tu jest problem z wyznaczeniem N uzależniając od ε podobnie w tym przykładzie:

	1
limn→∞		=0
	2n+1

jak udowodnić te granice ?

wredulus_pospolitus:

	2
parę literówek w pierwszym ... N = 'sufit'		−1
	ε

do drugiego −> log_ab = c −> a^c = b log_N+1 5 = ε −> (N+1)^ε = 5 −> N = 5^1/ε − 1

	ε
co do trzeciego −> 2N+1 = ε −> N+1 = log2ε −> N = log2
	2

oczywiście 'sufity'

jerey: ok, dzieki , najtrudniejsze w tym wszystkim to jest to uzaleznianie

wredulus: Bo de facto do tego sie to sprowadza Oczywiscie te N sa tylko przykladowe ... zawsze moze byc wieksze .... ale moze lepiej Ci nie mieszac

wredulus: A i jeszcze jedna sprawa: przy ciagach musisz wyczuc ogromna roznice pomiedzy zwrotami 'nieskonczenie wiele' i 'prawie wszystkie' Wiesz jaka jest roznica pomiedzy tymi zwrotami?

jerey: narazie zaczynam się uczyc , teraz będe robił cwiczenia/zadania, jak to w miare opanuje mozesz mi pokazac

jerey: nie , mozesz mi wyjasnic

wredulus: Nieskonczenie wiele .... oznacza ze nieskomczenie wiele wyrazow spelnia jakis tam warunek ... np. a_n =(−1/2)ⁿ <−− nieskonczenie wiele wyrazow jest wieksza od 0 Prawie wszystkie oznacza ze SKONCZONA ilosc wyrazow nie spelnia tego warunku ... np. a_n = (−1/2)ⁿ <−−− prawie wszystkie wyrazy ciagu sa mniejsze od 1/1000 Tak wiec −−− nieskonczenie wiele wyrazow spelnia warunek podany w definicji nie przesadza o istnieniu granicy ... ale prawie wszystkie juz jednoznacznie o tym przesadza (ten zwrot jest 'silniejszy').

jerey: zanotowałem. mogłbys jeszcze rzucic okiem na tą granice:? tym razem wyznaczyc granice:

	5		5
limn→∞ (		)−1= limn→∞		−1=
	n+√n		n+n1/2

	5		5
limn→∞		−1=		−1= −1 ? nie jestem pewny
	n(1+n−1/2)		−∞

wredulus: Eeee zbyteczne przeksztalcenia Lim stala/(n^α + 'stala) = +/−0 (zalezy od znaku ulamka) n*(1+n^−1/2) −−−> +∞

jerey: no a samo n^−1/2 dązy do?

jerey: ∞ racja bo im wieksze n .. dobra nie było tego pytania

razor: n^−1/2 dąży do 0

wredulus: Do ... do 0 n^−1/2 = 1/√n −−−> 0

jerey: ok, dzieki za wszystko ,wróce około 15