przestrzenie wektorowe Vit: pomocy! wyznacz bazę i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni R⁴ określonej jako: V = { (x,y,z,t) ∊ R⁴ : x+2y−z+t = x+y = z−y+t } ( określ najpierw zbiór generatorów V i zbadaj jego liniową niezależność ) wiem, że zbiór generatorów podprzestrzeni to wektory (liniowo niezależne?) rozpinające tę przestrzeń, ale jak je wyznaczyć?

WueR: Baza to zbior o minimalnej ilosci wektorow generujacych dana przestrzen. Jesli wiec wezmiemy zbior o wiekszej ilosci wektorow generujacych dana przestrzen, to liniowo niezalezne one nie beda. Zbior generatorow danej przestrzeni jest wiec zbiorem wektorow liniowo niezaleznych tylko wtedy, gdy jest on jednoczesnie baza danej przestrzeni [wszystkie bazy danej przestrzeni sa tej samej mocy].

WueR: By znalezc generatory to najsampierw trzeba rozwiazac uklad rownan z warunku naszej przestrzeni.

Vit: { y = 2t − x { z = 3t − x (x,y,z,t) = (x, 2t−x, 3t−x, t) x(1,−1,−1,0) + t(0,2,3,1) teraz sprawdzić ich liniową niezależność?

Vit: Może zapytam tak: Czym się różni baza podprzestrzeni od zbioru generatorów podprzestrzeni? Obliczyłam już, że wektory (1,−1,−1,0) i (0,2,3,1) są liniowo niezależne, więc na pewno tworzą bazę podprzestrzeni V, ale czy są również jej generatorami? Czy bazę przestrzeni n−wymiarowej może tworzyć mniej niż 'n' lub więcej niż 'n' wektorów liniowo niezależnych?

MQ: Ad 1. Zbiór generatorów jest bazą tylko wtedy, gdy jego elementy są liniowo niezależne. ad. 2. Bazę przestrzeni n−wymiarowej tworzy n wektorów liniowo niezależnych (ani mniej, ani więcej).

WueR: "wektory..., wiec na pewno tworza baze podprzestrzeni V, ale czy sa rowniez jej generatorami"? No to juz wystarczy zajrzec do definicji bazy i spostrzec, ze jeden z warunkow mowi, ze baza to zbior wlasnie generujacy dana przestrzen, wiec nie ma mozliwosci, zeby wektory nalezace do bazy nie generowaly tej przestrzeni (bo inaczej nie bylyby baza).