zbieżność ciągu asd: Zbadać zbieżność ciągu. W dodatku czy jest ograniczony lub nieograniczony i uzasadnić dlaczego. a_n=1+(−1)ⁿ Wie ktoś jak się za to zabrać ?

Nieuchwytny: Ciąg jest zbieżny jak ma skończoną granicę. Chyba

asd: No tak, tyle czy nie należałoby to jakoś udowodnić ?

Nieuchwytny: policz granice

asd: wyszło mi −∞ dobrze ?

Maslanek: Źle. Ciąg nie jest zbieżny. Ciąg zbieżny ma tą własność, że każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy. Przypuśmy, że ciąg a_n jest zbieżny. Rozważmy jego podciągi: a_2n a_2n−1

razor: a₁ = 1−1 = 0 a₂ = 1+1 = 2 a₃ = 1−1 = 0 a₄ = 1+1 = 2 itd... ciąg nie ma granicy, nie jest zbieżny, i jest ograniczony

asd: Czyli wychodzi na to, że mam liczyć granicę dla kolejnych liczb i w ten sposób się dowiem, czy ciąg jest zbieżny lub rozbieżny ?

Kamil: Każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny. Każdy ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny . Takie Twierdzenie

asd: Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale ten ciąg jest ograniczony z góry tak ?Przez liczby większe od 2 ?

Maslanek: Tak

Maslanek: Ale ciąg ograniczony z góry nie musi być ograniczony. Weźmy b_n=10−n.

asd: Rozumiem, musze napisać, dlaczego ciąg jest ograniczony, bo jest zbieżny ? Nie mam pojęcia jakie uzasadnienie napisać. Jeszcze w kwestii sprawdzenia zbieżności ciągu, dlaczego jak policzyłem granicę przy n−>∞ wyszedł błędny wynik ? Nie można w ten sposób określać zbieżności ?

Maslanek: Nie jest zbieżny...

asd: Literówka. Coś innego napisałem niż miałem na myśli

Ada: Można. Tylko tobie źle wyszła granica. Ten ciąg nie ma granicy. Spróbuj znaleźć punkt wokół którego jak będziesz zataczał coraz mniejsze koła to i tak większość wyrazów będzie w kole

asd: No to nie wiem dlaczego, skoro liczba do potęgi ∞ daje nieskończoność lim_n−>∞= 1+(−1)ⁿ=1−∞=−∞

Ada: Jedynka jest specyficzną liczbą, a zwłaszcza minus jedynka.

	1
I nie każda liczba, bo np. lim (		)n też jest nieskończoność
	2

asd: Chyba nie . W takim razie jak mam to udowodnić ?

Ada: Udowodnić, że ciąg nie ma granicy (nie jest zbieżny) można z definicji ciągu (czyli pokazania, że nie istnieje taki punkt wokół którego gromadzą się pozostałe). Ograniczoność wynika z faktu, że ten ciąg może przyjmować tylko dwie wartości 0 i 2 więc nie może być większy od 2 i mniejszy od 0.

Ada: A istnieje prostszy sposób na pokazanie tego. Z twojego ciągu możesz utworzyć dwa podciągi, jeden o wyrazach parzystych, drugi nieparzystych: n = 2k, k ∊ ℕ a_2k = 1+(−1)^2k = 1+(1)^k = 1+1=2 lim a_2k = 2 − górna granica n = 2k+1, k ∊ ℕ a_2k+1 = 1+(−1)^2k+1 = 1+(−1)(−1)^2k = 1+(−1)(1)^k = 1−1 = 0 lim a_2k+1 = 0 − dolna granica A że liczby parzyste i nieparzyste domykają zbiór liczb naturalnych, więc możesz z całą pewnością stwierdzić, że to ograniczenia twojego ciągu. Plus od razu widać, że każdy z podciągów ma różną granicę, a to stoi w sprzeczności z twierdzeniem, że każdy podciąg danego ciągu ma taką samą granicę jak ciąg, czy coś takiego.

asd: o kurde dzięki