Wyznaczenie n-tej pochodnej Jakub: Witam, mam problem z wyznaczeniem n−tej pochodnej funkcji: f(x) = ln(1+x) mam tak: f'(x) = (1+x)⁻¹ f''(x) = −(1+x)⁻² f'''(x) = 2(1+x)⁻³ f''''(x) = −6(1+x)⁻⁴ i wiem że będzie to wyglądało mw. tak: xx (1+x)⁻ⁿ ale nie mam zielonego pojęcia co wstawić w miejsce "xx" i jak do tego w ogóle dojść. Pozdrawiam

WueR: Druga pochodna na pewno dobrze wyznaczona?

WueR: Ups − tutaj ja sie pomylilem, jest ok.

Jakub: No tak mi się wydaje, wolfram też pokazuje to samo...

Bogdan:

	(−1)n−1*(n − 1)!
f(n)(x) = (−1)n−1*(n − 1)!*(1 + x)−n =
	(1 + x)n

Jakub: a mogę prosić o jakieś wyjasnienie jak dojść do takiego czegoś jeśli ktoś od razu tego nie widzi ?

Jakub: ok, już załapałem! Dzięki

Bogdan: To trzeba jednak dostrzec. Widzimy zmieniający się znak, mamy więc (−1)ⁿ⁻¹ lub (−1)ⁿ⁺¹, widzimy również ciąg współczynników: 1, 1, 2, 6, 24, 120 ..., czyli 0!, 1!, 2!, 3!, 4!, 5!,..., a wykładnik w mianowniku przy (1 + x) przyjmuje wartość liczby będącej nr pochodnej.

pigor: ... , twoja n−ta pochodna to : f⁽ⁿ⁾= (ln(1+x))⁽ⁿ⁾= (−1)ⁿ⁻¹*(n−1)! (1+x)⁻ⁿ, np.dla n=5 =(−1)⁽⁵⁻¹⁾*(5−1)! (1+x)⁻⁵=(−1)⁴*4! (1+x)⁻⁴=1*2*3*4(1+x)⁻⁴=24(1+x)⁻⁴ itd.

pigor: ...ups ; przepraszam

Bogdan:

Jakub: no nie wpadłem na to, że tam jest silnia, jakoś tak rzadko mam okazję jej używać i nawet o niej nie pomyślałem. Jeszcze raz dzięki !