Pochodne cząstkowe II rzędu funkcji zyga: Pochodne cząstkowe II rzędu funkcji f(x,y)=2x*e^xy Rozwiąże ktoś? Bardzo proszę.

J: A masz policzone I− go rzędu ?

zyga: Nie. Nie chce zrobić błędu i wolę na razie spojrzeć tylko na gotowe rozwiązanie.

J: f'_x = 2e^xy + 2xye^xy = 2e^xy(1+2xy) f"_xx = 2ye^xy(1+2xy) + 2e^xy2y = 2ye^xy(1 + 2xy + 2) = 2ye^xy( 2xy + 3) ... delej próbuj sam

zyga: Niestety nie dam rady. Nie mogę tego za nic zrozumieć. Dziękuję za tą część. Może ktoś pomoże z resztą?

daras: leń z ciebie zyguś

WueR: Ale czego nie mozesz zrozumiec? Liczysz normalnie jak zwykle pochodne jednej zmiennej przyjmujac, ze pozostale zmienne sa stale.

J: Własnie chyba tego nie może zrozumieć,że zmienną traktuje się jak stałą ...

J: ...pomijając fakt,że prawdopodobnie nie zna wzorów na pochodne funkcji elementarnych oraz wzoru na pochodną iloczynu funkcji

J: ... no i w tym przypadku funkcji złożonych.

Dziadek Mróz: f(x, y) = 2x * e^xy y = 2x * e^xy y = uv u = 2x v = e^z z = xy

d		d		d		d
	[y] =		[uv] =		[u]v + u		[v] = (1) ...
dx		dx		dx		dx

d		d
	[u] =		[2x] = 2
dx		dx

d		d		d
	[v] =		[ez] = ez *		[z] = (2) ...
dx		dx		dx

d		d		d
	[z] =		[xy] = y		[x] = y
dx		dx		dx

... (2) = e^xy * y = ye^xy ... (1) = 2e^xy + 2xye^xy

d
	f(x, y) = 2exy + 2xyexy
dx

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

d		d		d		d
	[y] =		[uv] =		[u]v + u		[v] = (1) ...
dy		dy		dy		dy

d		d		d
	[u] =		[2x] = 2x		1 = 0
dy		dy		dy

d		d		d
	[v] =		[ez] = ez *		[z] = (2) ...
dy		dy		dy

d		d		d
	[z] =		[xy] = x		[y] = x
dy		dy		dy

... (2) = e^xy * x = xe^xy ... (1) = 0 * e^xy + 2xxe^xy = 2x²e^xy

d
	f(x, y) = 2x2exy
dy

===================================

	d
k =		f(x, y)
	dx

k = 2e^xy + 2xye^xy k = k₁ + k₂ k₁ = 2e^xy k₂ = 2xye^xy k₁ = 2e^u u = xy

d		d		d
	[k1] =		[2eu] = 2eu *		[u] = (1) ...
dx		dx		dx

d		d
	[u] =		[xy] = y
dx		dx

... (1) = 2ye^xy

d
	[k1] = 2yexy
dx

k₂ = 2uv u = xy v = e^z z = xy

d		d		d		d
	[k2] =		[2uv] = 2(		[u]v + u		[v]) = (1) ...
dx		dx		dx		dx

d		d
	[u] =		[xy] = y
dx		dx

d
	[v] = ... = yexy
dx

... (1) = 2(ye^xy + xyye^xy) = 2(ye^xy + xy²e^xy) = 2ye^xy(1 + xy)

d
	[k2] = 2yexy(1 + xy)
dx

d2
	f(x, y) =
dx2

	d
=		[k] = 2yexy + 2yexy(1 + xy) = 2yexy(1 + 1 + xy) = 2yexy(2 + xy)
	dx

	d		d		d
analogicznie		[k] =		[k1] +		[k2] (*)
	dy		dy		dy

a następnie:

	d
p =		f(x, y)
	dy

p = 2x²e^xy p = uv u = 2x² v = e^z z = xy

d
	[p] = ... (**)
dx

d
	[p] = ... (***)
dy

i wtedy w odpowiedzi:

d
	f(x, y) = 2exy + 2xyexy
dx

d
	f(x, y) = 2x2exy
dy

d2
	f(x, y) = 2yexy(2 + xy)
dx2

d2
	f(x, y) = (*)
dxdy

d2
	f(x, y) = (**)
dy2

d2
	f(x, y) = (***)
dydx

Z tego wyjdzie, że (*) = (***)

J: Mój błąd...f'_x = 2e^xy + 2xye^xy = 2e^xy(1 + xy), a nie: 2e^xy(1 + 2xy) ... widać mam problem z wyłączeniem przed nawias...

zyga: Dziadek Mróz bardzo dziękuję za schemat, właśnie czegoś takiego potrzebowałem, teraz już będę potrafił rozwiązać każdą pochodną II rzędu.