Dla jakiego x punkty A, B, C oraz D leżą na jednen płaszczyźnie. matematyk: Dla jakiego x punkty A(1,−3,2), B(−2,0,3), C(0,−6,1) oraz D(x,−1,1) leżą na jednej płaszczyźnie? Próbowałem obliczyć wektorki AB, BC, CD i skorzystać ze wzoru: AB * (BC x CD), gdzie jak wynik wyjdzie zero to leżą na jednej płaszczyźnie, a jak różny od zera to nie leżą na jednej płaszczyźnie. Teoretycznie x się skróci i wychodzi wynik różny od zera (−20), czyli niby dla żadnego x te punkty nie będą leżeć na jednej płaszczyźnie. I moje pytanie jest czy dobrze to zadanie zrobiłem, bo mam wątpliwości.

Mila: Napisz równanie płaszczyzny. Takie mi wyszło. 0*x+y−3z+9=0 (sprawdź rachunki) Wsp. D mają spełnić równanie: 0*x−1−3+9=0 0*x+5=0 0*x=−5 równanie sprzeczne. Zgodnie z Twoimi obliczeniami, nie istnieje takie x, aby punkty A,B,C,D leżały w jednej płaszczyźnie.

matematyk: Uhm... dzięki za odpowiedź, Twoja wersja wygląda prościej i co ważniejsze potwierdza moje obliczenia, tyle że nie mam pojęcia w jaki sposób wyznacza się równanie płaszczyzny a co za tym idzie nie wiem skąd to pierwsze równanie się wzięło.

Mila: A*x+B*y+C*z+D=0 równanie płaszczyzny, dzielimy przez D≠0

A		B		C
	x+		y+		y+1=0
D		D		D

	A
a=
	D

	B
b=
	D

	A
c=
	D

stąd a*x+b*y+c*z+1=0

matematyk: To akurat udało mi się wyszukać, jednak nie mam pojęcia skąd się wzięło: 0*x+y−3z+9=0

Mila: Zaraz.

Mila: a*x+b*y+c*z+1=0 podstawiamy współrzędne punktów A,B,C 1) a−3b+2c+1=0, /*2 −2a+3c+1=0, −6b+c+1=0 2) 2a−6b+4c+2=0 −2a+3c+1=0, −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−dodajemy stronaami −6b+c+1=0 3) −6b+7c=−3 −6b+c=−1⇔c=6b−1 4)−6b+7*(6b−1)=−3⇔−6b+42b−7=−3, stad 36b=4

	1
5) b=
	9

	1		2
−6*		+c=−1⇔−		+c=−1⇔
	9		3

	1
c=−		podstawiamy do równania −2a+3c+1=0,
	3

	−1
−2a+3*		+1=0
	3

−2a=0⇔a=0

	1		1
6)0*x+		y−		z+1=0 /*9
	9		3

0*x+y−3z+9=0 równanie płaszczyzny 7) podstawiamy wsp. punktu D 0*x−1−3+9=0 0*x=−5 równanie sprzeczne.

pigor: ..., Twój sposób matematyk−u jest też dobry, bo | x−1 −1+3 1−2| iloczyn mieszany (AD^→xAB^→)oAC^→= |−2−1 0+3 3−2| = | 0−1 −6+3 1−2| |x−1 2 −1| = | −3 3 1| = −3(x−1)−2−9−3+3(x−1)−6= −20 ≠ 0 , | −1 −3 −1| a to oznacza, że 4 punty nie leżą w jednej płaszczyźnie . ...