Algebra abstrakcyjna - podstawy, prosze o pomoc. aatrox: Hej mam takie zadanko i zrobilem je ale nie wiem czy o to tu chodzi i mam problem ze zrozumieniem homomorfizmu, wyznaczania jego jadra i obrazu nie mogę do konca zrozumiec twierdzenia. W zbiorze liczb rzeczywistych R wprowadzamy działanie “◦” zdefiniowane w następujący sposób: ∀a, b ∈ R : a ◦ b =df= a + b − 4 oraz definiujemy następujące odwzorowanie: f : R ∋ a 7−→ 2a − 4 ∈ R. a) Udowodnij, że (R, ◦) jest grupą. b) Czy jest to grupa abelowa? c) Pokaż, że f jest homomorfizmem grupy (R, ◦) w siebie. d) Wyznacz jądro homomorfizmu f. e) Wyznacz obraz homomorfizmu f. Zeby cos bylo grupa musi byc laczne, posiadac element neutralny i element odwrotny zatem szukam tych trzech: Łączność zachodzi gdy: L =(a◦b)◦c = (a+b−4)◦c = a+b−4+c−4 = a + b + c − 8 P =(b◦c)◦a = (b+c−4)◦a = b+c−4+a−4 = a + b + c − 8 zatem jest laczne L=P Odrazu przemiennosc machne (aby byla grupa abelowa trzeba sprawdzic) a ◦ b = b ◦ a => a+b−4 = b+a−4 zatem jest przemienne i jest grupa abelowa( o ile bedzie grupą) Szukam elementu neutralnego a◦e=a ===> a◦e−4=a ===> a+e−4=a ====> e = 4 zatem el. = 4 Szukam elementu odwrotnego. a ◦ b = b ◦ a = e (jest przemienne co sprawdzilem) zatem a ◦ b = e ==> a + b − 4 = 4 => b = 8−a Zatem dla dowolnego elementu a ∊ R istnieje element odwrotny oznaczony wzorem a⁻1 = 8−a Tutaj zaczynaja sie główne schody: I teraz musze sprawdzic czy ta wyzej funkcja jest homomorfizmem w siebie: Wg twierdzenia podanego w ksiazce wydaje mi sie ze powinno byc cos takiego f(a•b) = f(a)•f(b) (ale czy to o to tu chodzi? i czy to jest pelna odpowiedz na ten podpunkt?) Teraz czy ma jądro tego w ogole nie rozumiem czy chodzi o to f(x) = 4 (gdzie 4 to element neutralny R' ktory wczesniej wyrazilem wzial sie stad bo w twierdzneiu mamy R−−>R' . Zatem jadrem sa wszystkie wartosci ktore po podlozeniu pod x dadza 4? w tym wypadku jadro wyniesie kerf = {4} ? Z kolei obraz rozumiem wg twierdzenia ze to jest zbior wszystkich wartosci wchodzacych w grupe i odwzorowanie czyli tutaj obraz to bedzie im = R ? Bardzo prosze o sprawdzenie mojego rozumowania i w razie bledow o poprawienie i wyjasnienie z gory bardzo dziekuje za pomoc! Pozdrawiam

aatrox: I mam pytanie czy moglby ktos podac jakis przyklad homomorfizmu do tego zadanka gryby nie przechodzil w siebie i jakby wygladala jego rozpiska?