równość funkcji Pajacyk: Pomocy − jak sprawdzić czy te funkcje są równe? Walczę z tym od 2 godzin a) f(x)=¹_IxI ; g(x)=^sgnx_x b) f(x)=−2x ; g(x) = −2√x² c) f(x) = ^x2−9_x−3 ; g(x) = x+3 d) f(x) = √x²−12x+36 ; g(x) = Ix−6I

PW: Po pierwsze muszą mieć identyczne dziedziny. a) Do dziedziny funkcji f nie należą x, dla których [x]=0, a do dziedziny funkcji g nie należy x=0.

Pajacyk: czyli w a dzidziny sa identyczne?

Metis: b) D=R g(x) = −2√x² = −2√x² = −2x f(x) = g(x) Funkcje są równe.

Metis: c) f(x) D: x−3 ≠ 0 D: x ≠ 3 D: R − {3} g(x) D=R Funkcje nie są równe. Sprzeczne dziedziny.

Pajacyk: a co ze zbiorem wartosci w a?

Pajacyk: apropo − w b nie sa równe

Metis: d) Df(x) = R⁺ (wszystkie rzeczywiste dodatnie) Dg(x) = R⁺ (wszystkie rzeczywiste dodatnie) I warunek spełniony Spróbuj sam przekształcić |x−6| juz bez wartości Wskazówka : Musisz przez coś pomnożyc by otrzymać: x² − 12x + 36

Pajacyk: √x²=IxI

Pajacyk: i co z tym a

Metis: w b) masz racje. Dziedzina f(x) = wszystkie rzeczywiste Dziedzina g(x) = wszystkie rzeczywiste dodatnie

Metis: w a) Df(x) = xε R − {0} Dg(x) = xε R − {0} Zatem musisz spr. 2 warunek.

Pajacyk: ale jak mam sprawdzić czy ¹_IxI jest równe ^sgnx_x no ja wiem tylko że signum podporzadowuje kazdej liczbie ujemnej −1 a dodatniej 1 a zeru nic

Metis: Mozna to uprościc do : f(x) = |x| g(x) = x *sgn(x) f(x) = g(x) 0 pomijamy( nie jest w dziedzinie) |x| ≥ 0 Zatem musimy tylko udowodnić że x *sgn(x) jest dodatnie. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni ( minus i minus daje plus) .

PW: W a) mianownik to |x| ? Napisałeś coś dziwnego, co zrozumiałem jako "całość z x" (funkcję entier). Jeżeli tak jest, że w mianowniku jest wartość bezwzględna x, to odpowiedź jest prosta − funkcje są równe, bo

	sgnx		1
		=		dla x>0
	x		x

	−1
		dla x <0,
	x

czyli

	1
g(x) =
	|x|

Pajacyk: tak, w a mianownik to wartosc bezwzgledna

Pajacyk: PW mozesz jasniej z tym a

Pajacyk: metis a skad wyszlo ci to uproszczenie jak doszedles do tego

Metis: Uproszczenie było tylko po to by łatwiej zrozumieć. Zasada jest ta sama. Iloraz dwóch liczb tez jest dodatni.

Pajacyk: ale skad ci nagle wyszlo ze f(x) = ¹_|x| = poprostu |x| doprawdy niepojmuje

Metis: Nie chodzi o zapis. W tej postaci i w tej postaci wynikiem będzie liczba rzeczywista dodatnia. Przykład:

1
	i |x|
|x|

dla x = −2 1/|(−2)| = 1/2 − dodatnia |−2| = 2 dodatnia...

Metis: Najlepiej wyjasnił Ci PW.

Godzio: W b) dziedziny są równe − obie to liczby rzeczywiste, ale funkcje nie są równe bo f(x) = −2x g(x) = −2|x|