ciagi zadanie:

	x2
Pokazac, ze ciag funkcji fn(x)=		ma nastepujace własnosci:
	x2+n2

a) jest zbiezny punktowo na całej prostej rzeczywistej R, b) nie jest zbiezny jednostajnie na R, c) jest zbiezny jednostajnie na [−1; 1]. przedzial zbieznosci tego ciagu to R. a) czyli z definicji f(x)=limf_n(x) n→∞

	x2
limfn(x)=lim		=0
	x2+n2

ciag zbiezny punktowo do zera (f_n→0) czy to juz koniec? moge prosic o pomoc w b) i c) ?

zadanie: ?

zadanie: ?

zadanie: ?

zadanie: moge prosic o pomoc?

zadanie: ?

zadanie: w jaki sposob pokazywac, ze ciag nie jest zbiezny jednostajnie?

zadanie: ?

Godzio: b) sup_x∊R |f_n(x)| = 1 więc zbieżność nie jest jednostajna

	x2
c) fn(x) =		f(x) = 0 (granica punktowa)
	x2 + n2

	x2		1
|fn − f| = |		| ≤		< ε
	x2 + n2		n2

więc zbieżność jest jednostajna

zadanie: dziekuje

	1
a dlaczego		<ε?
	n2

Godzio: To już taki skrót

1
	→ 0 więc od pewnego n0 wiemy, że dla każdego n większego od tego n0
n2

1
	< ε
n2