oblicz układ równań: amico: rozwiąż układ równań: 2x(x² − 1) + xy² = 0 2y(y² − 1) + yx² = 0 Nie wiem kompletnie jak się za to zabrać. Ma ktoś jakiś pomysł?

PW: Równania są "symetryczne" − jeżeli para (a,b) spełnia jedno z równań, to para (b,a) spełnia drugie. Rozwiązań trzeba więc szukać wśród par, które mają jednakowe obie współrzędne.

zombi: Ew. dodaj równania 2x³ − 2x + xy² = 0 2y³ − 2y + yx² = 0 + 2(x³+y³) − 2(x+y) + xy(x+y) = 0 ⇔ 2(x+y)(x² − xy + y²) − 2(x+y) + xy(x+y) = 0 ⇔ (x+y)[2x² − 2xy +2y² − 2 +xy] = 0 ⇔ (x+y)[2x² − xy + 2y² − 2] = 0 I teraz I^o x+y = 0 ⇔ x = −y Podstawiamy do pierwszego równania i liczymy. II^o 2x² − xy + 2y² − 2 = 0 (tu jest problem, może jest trick, ja go na razie nie widzę) można ew. próbować traktując y jako stała i mamy równanie kw. dla iksów.

zombi: A nie w sumie bez sensu kombinować łatwe jest: x(2x²−2+y²)=0 y(2y²−2+x²)=0 W pierwszego równania weźmy x=0, podstawiamy do (2) i otrzymujemy 2y(y−1)(y+1) = 0 zatem mamy pary (0,0); (0,1); (0,−1). Następnie rozpatrzmy przypadek, gdy 2x²−2+y² = 0 ⇔ y² = 2−2x², podstawiamy do (2)

	2		2
√2−2x2(2−3x2) = 0 ⇔x∊{1,−1,√		, −√		} co nam daje pary
	3		3

	2		2		2		2		2		2
(√		; −√		); (√		; √		); (−√		; √		);
	3		3		3		3		3		3

	2		2
(−√		; −√		)
	3		3

Suma sumarum Rozwiązaniami układu są pary liczb (x,y): (0,0); (0,1); (0,−1), które są symetryczne jak powiedział PW, więc w grę wchodzą również pary (1,0); (−1;0) oraz

	2		2		2		2		2		2
(√		; −√		); (√		; √		); (−√		; √		);
	3		3		3		3		3		3

	2		2
(−√		; −√		)
	3		3

Na potwierdzenie https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve2x%28x^2-1%29%2Bxy^2%3D0%3B+2y%28y^2-1%29%2Bx^2y%3D0

zombi: Oczywiście w przypadku II ważne jest uwzględnienie dziedziny i sprawdzenie czy rozwiązania z tego przypadku spełniają warunek przypadku II. Tzn. Mamy równanie y² = 2 −2x², jako, że L>=0

	2		2
również P>=0 zatem x∊<−1;1>, ale √		oraz −√		należą do <−1;1>
	3		3

amico: Jesteście świetni ! Dziękuję