WTF, może ktoś jest w temacie Renewerek: Nie było mnie na ostatniej lekcji i nie wiem co z tym zrobić. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby 3²⁰¹⁴ Proszę o pomoc

wredulus_pospolitus: należy zauważyć: 3¹ = 3 3² = 9 3³ = 27 3⁴ = 81 3⁵ = 243 3⁶ = 729 3⁷ = 2187 jaki wniosek z tego można wyciągnąć I jak to pomoże w rozwiązaniu Twojego zadania

Renewerek: zakończy się jedynką. Czyż nie ? Ale nie wiem czy czasem nie dziewiątką ?

Paweł: 3¹=3 3²=9 3³=27 3⁴=81 3⁵=243 3,9,7,1,3... 2014/4=503,5 czyli 9 tak na chłopski rozum

wredulus_pospolitus: no to pomyśl jaki wniosek wyciągnąłeś z tego co napisałem

Renewerek: wszystkie wieloktrotnosci potegi 2 , beda miec dziewiec , a 2014 jest wielokrotnoscia poregi 2 . PEWNIAK

wredulus_pospolitus: pewniak −−−− 'co 4' ostatnia cyfra się powtarza stąd: 2014 = 2012 + 2 = 4*503 + 2 czyli ostatnią cyfra liczby 3²⁰¹⁴ będzie taka sama cyfra co liczby 3² = 9

Renewerek: Mam rację ? zakończy się dziewiątką ?

wredulus_pospolitus: tak ... ale wywów z 11:36 jest błędny

Renewerek: a , czyli moj sposob rozumowania jest do kijowy, no nic...

wredulus_pospolitus: W Twoim rozumowaniu 3², 3⁴, 3⁶,3⁸ ... te wszystkie liczby będą miały ostatnia cyfrę 9 a przecież 3⁴ = 81

wredulus_pospolitus: zresztą ... co by było gdyby to było 3^{175'693'625'581} Jak wtedy byś to rozwiązał

Renewerek: Jasne. Dzięki wielkie. Kolejne zadanie bez sensu praktycznego.

Paweł: przy dzieleniu przez 4 może zostać reszta ,25 ,5 ,75 albo ,0 wystarczy analogiczne porownąć z 3¹ 3² 3² albo 3⁴

Paweł: sorry, odwrotnie ,75 ,5 ,25 ,0

wredulus_pospolitus: sens praktyczny mój drogi to zadanie ma −−− zadanie polega na zauważeniu 'prawidłowości' zadanie polega także na −−− wykorzystaniu zauważonej prawidłowości do rozwiązania problemu, którego w 'tradycyjny' (czyt. wyliczenie tejże pochodnej) nie da się szybko i łatwo wykonać, nawet przy użyciu podręcznych urządzeń obliczeniowych

wredulus_pospolitus: wpis z 11:50 i 11:48 −−− nie rozumie o co Ci chodzi

Paweł: nie dziwię się

Paweł: 3⁴ i 3⁸ nie mają ostatniej cyfry 9 panie wredulus

Renewerek: zadanie z 11:45 175'693'625'581 == 2 * 878... + 2 , czyli raczej tak samo konczy sie dziewiątką

wredulus_pospolitus: Renewerek −−− bzduuuura

wredulus_pospolitus: pomyśl nim coś zrobisz

Renewerek: to trójką pewnie bo tutaj jest 2 *.. , a tam bylo 4 *..

wredulus_pospolitus: co ?

Renewerek: jak było 4*503 + 2 , konczylo sie na 9 a teraz jest 2 * 878... + 2, wiec pewnie na 3

Paweł: Renewerek, jeśli podzielisz daną potęgę przez 4 i reszta wyjdzie Ci tak samo jak w pierwszych czterech (3¹, 3², 3³, 3⁴) to ostatnia cyfra będzie taka sama

wredulus_pospolitus: jeszcze raz: dlaczego 3²⁰¹⁴ ma ostatnią cyfrę 9 ... ponieważ można zapisać 2014 = 2 + 4*503 dlaczego 3¹³ ma ostatnią cyfrę 3 ... ponieważ można zapisać 13 = 1 + 4*3 dlaczego 3⁵⁹¹ ma ostatnią cyfrę 7 ... ponieważ można zapisać 591 = 3 + 4*147 więc jaką ostatnią cyfrę będzie miała liczba 3^{175'693'625'581} zauważ, co tak naprawdę jest istotne

Renewerek: dlatego 3^175'693'6^6256'581 ma ostatnią cyfrę 3 ... ponieważ można zapisać 1 + 43923406395 * 4 czyli zawsze dziele przez 4 a potem sprawdzam ile brakuje ...

Renewerek: To jest na 100% dobrze, mogę poznać odpowiedź do zadania ?

zombi: 3 ≡ 3 (mod 10) /² 3² ≡ 9 (mod 10) ⇔ 3² ≡ −1 (mod 10) /¹⁰⁰⁷ ⇔ 3²⁰¹⁴ ≡ −1 (mod 10) ⇔ 3²⁰¹⁴ ≡ 9 (mod 10) kończy się 9.

Renewerek: mnie chodzi o zadanie 12:09 , czy dobrze rozwiązałem w 12:18

wredulus: Tak ... dobrze