Ekstrema Darth Mazut: Witam! Czy istnieje może jakaś uniwersalna metoda do sprawdzania ekstremów funkcji wielu (chodzi mi głównie o dwu) zmiennych jeżeli hesjan = 0? W przykładzie: f(x,y) = x⁴ + y⁴ − x² − 2xy − y² = x⁴ + y⁴ − (x+y)² w pkcie (0,0) hesjan = 0 <==> nie rozstrzyga, kiedy podstawiam ciągi typu (0,¹_n) oraz (¹_n, 0) to wychodzi że: f(0,¹_n) = ¹_n⁴ − ¹_n² < 0 dla obu ciągów, czyli jeśli w pkcie (0,0) wartość = 0 a na pozostałych prostych < 0 to czy nie powinno znajdywać się tam maksimum?

MQ: To akurat nic nie rozstrzyga, bo zbadałeś tylko podejście wzdłuż dwu osi. Trzeba by udowodnić, że w całym otoczeniu (0,0) f jest mniejsza od f(0,0). Nie ma ogólnych zasad −− trzeba kombinować.

Darth Mazut: Jeśli wziąłbym prostą y=−x i podstawił do f(x,y) co da wynik 2x⁴ zawsze ≥ 0 to czy tym i ciągami powyżej udowadniam że ekstremum nie istnieje?

MQ: Tak, bo dodatkowo dla y=x masz 2x⁴−4x² −− w pobliżu (0,0) mniejsza od f(0,0), więc te dwa fakty (twój i mój) dowodzą, że nie ma tam ekstremum.

Darth Mazut: Dziękuje