jak rozwiązać to zadanie gryzli: ln(|sinx|) +x²=0 jak to rozgryźć podać przedział o długości nie większej niż jeden zawierający rozwiązanie zadania

kochanus_niepospolitus: hę

gryzli: wskaż przedział o długości nie większej niż jeden zawierający rozwiązanie równania ln|sinx| +x² =0

razor:

π

π

π2

1

π2

π2

f(

) = ln(sin

) +

= ln

+

= ln1 − ln2 +

=

6

6

36

2

36

36

	π2
		− ln2 ≈ −0,41
	36

	π		π		π2		√2		π2
f(		) = ln(sin		) +		= ln		= ln√2 − ln2 +		≈ 0,27
	4		4		16		2		16

Funkcja przyjmuje wartość ujemną i dodatnią więc gdzieś musi przejść przez 0

π		π		3π		2π		π
	−		=		−		=		< 1
4		6		12		12		12

	π		π
szukany przedział: (		,		)
	4		6

razor:

	π		π
(		,		) miało być na koniec
	6		4

gryzli: ja doszedłem do czegoś takiego ln|sinx| + x²=0 ; x²=ln e^x2 ln| sinx| + ln e^x2=0 ln( |sinx| * e^x2 )=0 / ℯ↑ ; e⁰=1 |sinx| * e^x2=1 / e^x2

	1
|sinx|=		=e−x2
	ex2

|sinx|=e^−x2 teraz −1≤sinx≤ => |sinx|≤1 1≥|sinx|=e^−x2>0 mógłby ktoś to skontrolować ?

gryzli: stąd x ∊ (0,1] mniejszy od odcinka dł. 1 .

Gosia: A jak inaczej oszacować to, co razor napisał? Niestety na egzaminie nie wolno nam korzystać z kalkulatorów i muszę inaczej udowodnić, że

	π		π
wartość w		jest ujemna a w		dodatnia.
	6		4

Toskan: gryzli dobrze Potwierdza to własność Darboux h(^π₆) = (ln ¹₂) + (^π₆)² Wiadomo, że: ³√e < 2

1
	> 12
3√e

e^−1/3 > ¹₂ ln e^−1/3 > ln ¹₂ ln ¹₂ < −1/3 oraz, że: ^π2₃₆ < ^3.22₃₆ = ⁶⁴₂₂₅ h(^π₆) = (ln ¹₂) + (^π₆)² < −1/3 + ⁶⁴₂₂₅ = −¹¹₂₂₅ < 0 Następnie:

	√3
h(π3) = (ln		) + π29
	2

Wiadomo, że:

	8 * √3 * √3 * √3
e >
	27

	2√3
e1/3 >
	3

	√3
e−1/3 <
	2

	√3
ln e−1/3 < ln
	2

	√3
−13 < ln
	2

Oczywiste, że:

	32		π2
1 =		<
	9		9

	√3
h(π3) = (ln		) + π29 > −13 + 1 = 23 > 0
	2

Wykazano, że h(^π₆) < 0 ⋀ h(^π₃) > 0 a to oznacza, że w przedziale (^π₆; ^π₃) ⊂[0, 1] jest miejsce zerowe funkcji h.