wykażd podzielność roman: jak wykazać podzielność przez 19 5*2³ⁿ⁻² + 3³ⁿ⁻¹

mietek: znasz coś takiego jak kongruencje?

roman: słyszałem o tym, ale nie bardzo się orientuję a da się to jakoś inaczej?

Saizou : a znasz indukcje ?

roman: kiedyś trochę umiałem choć miałem z tym problemy, ale teraz to już zapomniałem

mietek: to możesz jeszcze robić tabelkę i obserwować reszty, ale to jest żmudne...

Janek191: n ≥ 2 1) n = 2 5*2⁴ + 3⁵ = 5*16 + 243 = 80 + 243 = 323 = 19*17 tak 2) Zakładam podzielność przez 19 dla liczby k 5*2^{3k − 2} + 3^{3k − 1} = 19 t, gdzie t − dowolna liczba naturalna więc 5*2^{3k − 2} = 19 t − 3^{3k − 1} Mamy pokazać, że podzielność zachodzi dla k + 1 Mamy 5*2^{3(k + 1) − 2} + 3^{3(k +1) − 1} = 5*2^{3k + 1} + 3^{3k + 2} = = 5*2^{3k − 2} *2³ + 3^{3k + 2} = 8*(19 t − 3^{3k −1}) + 3^{3k − 1} *3³ = = 19* 8t − 8*3^{3k − 1} + 27*3^{3k − 1} = 19*8t + 19*3^{3k − 1} = = 19*(8t + 3^{3k − 1}) − liczba podzielna przez 19. Na podstawie zasady indukcji matematycznej liczba 5*2^{3n −2} + 3^{3n −1} jest podzielna przez 19 dla n ≥ 2. ckd.

Janek191: W V wierszu powinno być : 5*2^{3k − 2} + 3^{3k − 1} = 19 t, gdzie t − liczba naturalna

Janek191: Poprawka Dla n = 1 liczba też jest podzielna przez 19 : 5*2 + 3² = 19