pomoc[t] Toskan: Potrzebna pomoc, weryfikacja w kilku przykładach. Krysicki, Włodarski ====== 2.65

	1		1
lim (1 −		)n = lim ((1 −		)−n2)−1/n =
	n2		n2

lim e^−1/n =_{można takie przejście?} = 1 n→∞ ====== 2.93 W prostokąt wpisano k_n okręgów o jednakowych promieniach (rysunek http://avatars.zapodaj.net/images/18f4d4315ec2.png ).

	α
Niech a i b oznaczają długości boków prostokąta, natomiast		promień wpisanych okręgów.
	2n

Znaleźć granicę stosunku S_kn/S przy n→∞, jeżeli S_kn oznacza pole k_n wpisanych okręgów, a S pole danego prostokąta. Odpowiedź z podręcznika:

	α
Wzdłuż boku a leży n okręgów. Wtedy średnica każdego z nich jest równa
	n

a suma pól wszystkich okręgów:

	b − βn		πα(b − βn)
Skn = π * ( α/(2n) ) 2 * n *		=		, gdzie βn→0 przy n→∞
	α/n		4

	Skn		π
Stąd limn→∞		=
	S		4

Moje uwagi Zaczynam tak jak w odpowiedzi chociaż już tutaj mam wątpliwości. Wzdłuż jednego boku mamy n okręgów. No właśnie dlaczego? Skoro w cały prostokąt wpisujemy k_n okręgów to nie wynika stąd, że w całym prostokącie jest n okręgów? No dobra załóżmy, że w całym prostokącie może być 2n, 3n, i więcej okręgów, czyli przy pierwszej ścianie mamy n

	α
okręgów, logiczne, że średnica każdego z nich to		, zatem suma pól wszystkich okręgów,
	n

które nieustannie maleją to iloczyn liczby okręgów przy jednej ścianie prostokąta razy liczba okręgów przy drugiej ścianie razy pole jednego okręgu.

	α
Przy jednej ścianie (ścianie a) mamy n okręgów i promień każdego z nich to		, czyli
	2n

początkowy wzór na sumę pól wszystkich okręgów rozumiem

	b − βn
n * π * ( α/(2n) ) 2 Teraz zobaczmy dalszy wzór:
	α/n

Musi to być liczba okręgów przy drugiej ścianie (ścianie b). Czym jest b − β_n? Długość boku pomniejszona o pewną wielkość, ale jeszcze później dzielimy przez średnicę jednego okręgu. Chyba, że rysunek jest mylący i autor przeprowadził takie rozumowanie. Rzeczywiście w prostokącie jest n okręgów przy czym autor ułożył je w taki sposób, że są jeden na drugim. Ściślej mówiąc mamy n okręgów przy jednej ścianie a przy drugiej jest tylko jeden okrąg styczny, który nieustannie maleje. Ale czy tak można? Trochę to chyba bez sensu. ==== Inny problem. Mamy taką sumę ∑ ⁿ√x n−tego stopnia pierwiastek z x. Czy można sumować od n=1 do ∞? Tzn aby wyznaczyć dla n=1 oraz n=2 chyba najlepiej zamienić x^1/n i po prostu napisać x, √x ? Pytam bo wielokrotnie widziałem sumy od n=−5 do ∞ podobnych wyrażeń. Czyli były to chyba błędne sumy. ===== 3.34 Zbadać zbieżność szeregu. ∞

	π
∑ 2n sin
	3n

n=1 Próbowałem różnych metod i wolfram obliczył mi między innymi, że:

	1		π
lim n√sin w =		, gdzie w =
	3		3n

n→∞ Jak to policzył? ===== Indukcja

	n
Udowodnić, że n! > (		)n
	e

	1
Dla n=1 mamy 1 >
	e

	k
Założenie indukcyjne: k! > (		)k
	e

	k + 1
Teza indukcyjna: (k+1)! > (		)k + 1
	e

Zaczynam od tezy, dla k≥1 mamy:

	k		kk * (k + 1)		kk * (k + 1)
(k+1)! > (		)k * (k + 1) =		>
	e		ek		ek+1

Musi być k^k * (k + 1) > (k+1)^k+1 = (k+1)^k * (k + 1) /(k+1) k^k > (k+1)^k_{sprzeczność?} ===== 5,34; 5,35 Czy da się policzyć bez reguły de l'Hospitala?

	xn − 1
lim		= n
	x − 1

x→1

	√x2 + 1 − √x + 1
lim		= 1
	1 − √x + 1

x→0 ===== 5.68 Jak obliczyć lim xe^1/x = ? n→0⁺ ===