Zastosowanie pochodnych aha: Znaleźć wymiary zamkniętej cylindrycznej puszki, która przy danej powierzchni S ma największą objętość. Muszę to zrobić za pomocą pochodnych a nie za bardzo wiem jak. Z góry dzięki za pomoc

PW: (1) V(r) = πr²h, (2) S = 2πr² + πrh. Z (2) wyliczamy: πrh = S − 2πr² i podstawiamy do (1): V(r) = r(S − 2πr²). Badamy funkcję V zmiennej r w dziedzinie wynikającej z fizycznych warunków zadania.

aha: a S nie będzie przypadkiem 2πr²+2πrh ?

PW: Tak, oczywiście pomyliłem się (brakło nawiasu po dwójce w (2) i w konsekwencji dalej już źle), ale poradzisz sobie z poprawieniem wzoru na V(r); dziękuję za zwrócenie uwagi.

aha: No dobrze powiedzmy jakoś wyprowadzę ten wzór na V i co dalej? Pochodną z no właśnie jakiej zmiennej i wtedy sprawdzić monotoniczność w przedziale v'(r)>0?

PW: No tak, wyznaczyć punkt r₀, w którym V osiąga maksimum lokalne. (a) V'(r₀) = 0 − warunek konieczny istnienia ekstremum plus (b) zmiana znaku pochodnej (z plusa na minus) w otoczeniu tego punktu − warunek dostateczny. Jeżeli r₀ należy do dziedziny wynikającej z fizycznych warunków zadania, to w r₀ jest osiągane maksimum lokalne. Zmienną jest tutaj r, jeśli Ci to przeszkadza, to zacznij od napisania, że symbolem x oznaczamy promireń podstawy i zapisz wzory za pomocą x.