Wartość największa i najmniejsza w przedziale Zuza: Wyznacz najmniejsza i największą wartość funkcji w zadanym przedziale a) y=x⁴ −2x³+7 <−2,2> b) y=x − 2√x <0,4>

zawodus: pochodna i lecimy

lol: y'=4x³−6x² y'=0⇔4x²(x−1,5)=0 x=0⋁x=1,5 i policzyć wartości w tych punktach

J: A co to daje ?

Zuza: w a) podałam złą funkcje powinno być y=x⁴−2x²+7 to wtyedy y'=4x³−4x y'=4x(x−1)(x+1) y'=0 gdy x=0 x=1 i x=−1 y(0)=7 y(1)=6 y(−1)=6 dobrze? i co dalej zrobić?

J: Sprawdź, czy funkcja posiada maksima lokalne w punktach zerowania się pierwszej pochodnej. Jeśli tak, to je oblicz. Potem wybierzezsz najwiekszą wartość spośród: f(−2),f(2) , f_max

Zuza: hmm? nie wiem o co chodzi?

J: Pierwsza pochodna zeruje się dla: x = 0 , x = − 1 lub x = 1 ( warunek konieczny istnienia ekstremum) Jak sprawdzić, czy funkcja posiada ekstrema w tych punktach x = 0, x = 1 , x = −1 ?

Zuza: Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach x0

Zuza: 4x(x−1)(x+1)>0 4x(x−1)(x+1)<0 ?

Zuza: dobrze myślę?

Radek: Podstaw jakąś liczbę z przedziałów (−∞,−1) (−1,0) (0,1) (1,∞)

Radek: I zbadaj znak jeśli dodatni to funkcja rośnie

J: Dobrze, ale można też inaczej. Liczymy drugą pochodną w punktach zerowania sie pierwszej : y" = 12x² − 4 y"(−1) = 8 ( minimum) y"(0) = − 4 (maksimum) y"(1) = 8 (mninimu) Teraz policz: f(−4) , f(−2) , f(2) .. i wybierz najwiekszą wartość.

Radek: To zawsze można się posłużyć drugą pochodną?

Zuza: 4x(x−1)(x+1)>0 xE (−oo, −1) (0,1) 4x(x−1)(x+1)<0 xE(−1,0) (1, +oo) ?

Zuza: ok

J: Teraz zobaczyłem,że masz też wyznaczyć też najmniejszą, wiec policz jeszcze f(−1) oraz f(1).

Radek: ↘ (−∞,−1) ↗ (−1,0) ↘ (0,1) ↗ (1,∞)

J: A kto zabrania ? .... czasem, jak tutaj , jest chyba prościej ( łatwa do policzenia )

pigor: ..., Wyznacz najmniejsza i największą wartość funkcji w zadanym przedziale a) y=x⁴−2x²+7, [−2;2] , b) y=x−2√x, [0;4]. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., lub np. tak ; a) dana funkcja jest parzysta, bo f(−x)=f(x), ponadto y=f(x)= x⁴−2x²+7= x⁴−2x²*1+1+6= (x²−1)²+6, no to f(x²=1)=6 i −1,1∊[−2;2], więc f(−1)=f(1)=6 i f(−2)=f(2)=15, czyli f_najmn.= 6 ≤ f(x) ≤15 = f_najw.

pigor: ..., analogicznie, bo pochodną funkcji − "armatę" na ekstrema szkoda na ... b) y= g(x)= x−2√x = √x²−2√x+1−1= (√x−1)²−1, no to g(√x=1)= −1 i √x²=x=1∊[0;4], więc spośród wartości g : g(1)= −1 i g(0)= 0 i g(4)= 0 widać, że g _najmn.= −1 ≤ g(x) ≤ 0 = g _najw. . ...

zawodus: pigor "trochę" zagmatwane nie stwierdzam, że pomysł zły tylko zapis ciężki do rozczytania W obu wystarczy podstawienie i badamy funkcje kwadratową

pigor: ... , zgoda, bo jak zauważyłeś prawie nie używam zmiennej pomocniczej, stąd tak może się ... wydawać, ale chyba warto to ..."przełknąć" . ...

zawodus: Ja rozumiem, ciekawe jak inni