przestrzenie zadanie: 1. Wskaz baze i okresl wymiar nastepujacej podprzestrzeni wektorowej. V={f∊R₃[x] : f(2x)=xf'(x)} f(x)=ax³+bx²+cx+d; f'(x)=3ax²+2bx+c f(2x)=8ax³+4bx²+2cx+d f(2x)=xf'(x) 8ax³+4bx²+2cx+d=3ax³+2bx²+cx 5ax³+2bx²+cx+d=0 d=−5ax³−2bx²−cx f(x)=ax³+bx²+cx−5ax³−2bx²−cx=−4ax³−bx²=a(−4x³)+b(−x²) wektory −4x³, −x² sa liniowo niezalezne baza {−4x³, −x²}, wymiar dimV=2. dobrze?

zadanie: 2. Do podprzestrzeni wektorowej V<R₂[x] generowanej przez trojmiany x²−2x−5 oraz −3x²+x+1 naleza pewne wielomiany stopnia ≤1. Znajdz wszystkie takie wielomiany oraz zbadaj czy tworza one podprzestrzen wektorowa w V. V=lin{x²−2x−5, −3x²+x+1}=a(x²−2x−5)+b(−3x²+x+1)=(a−3b)x²+(−2a+b)x−5a+b ; a, b ∊R wielomiany maja byc stopnia ≤1,czyli wspolczynnik przy x² musi wynosic 0. a−3b=0 a=3b f(x)=(−2a+b)x−5a+b=−5bx−14b ; b∊R szukane wielomiany sa postaci f(x)=−5bx−14b ; b∊R jak zbadac czy tworza one podprzestrzen wektorowa w V? (z def. suma wektorow i ich iloczyn przez liczbe musi nalezez do V)

zadanie: 3. Wektor u ma w bazie v₁, v₂, v₃ przestrzeni V wspolrzedne [0, 1, −2]. Znajdz jego wspolrzedne w bazie v₁, v₁−v₂, v₁+v₃. niech u=[x, y, z] Z tresci zadania zachodzi rownosc: [x,y,z]=0v₁+v₂−2v₃ czyli u=[0v₁, v₂, −2v₃] baza: v₁, v₁−v₂, v₁+v₃ wspolrzedne wektora u w tej bazie to u=[a,b,c] [0v₁, v₂, −2v₃]=av₁+b( v₁−v₂)+c(v₁+v₃) [0v₁, v₂, −2v₃]=(a+b+c)v₁−bv₂+cv₃ a+b+c=0→a=3 −b=1→b=−1 c=−2 wsplrzedne tego wektora w tej bazie to u=[3, −1, −2].

zadanie: poprosilbym o sprawdzenie tych zadan

zadanie:

	1 2 0 1		−1, 2 2 1		2 8 2 3		2 2 −1 1
4. Znajdz baze przestrzeni lin{		,		,		,		}

Uzupelnij otrzymany uklad wektorow do bazy M_2x2.

	1 2 0 1		−1, 2 2 1
sprawdzam pierwsze 2 wektory		,		czy sa liniowo niezalezne. (tak)

	1 2 0 1		−1, 2 2 1		2 8 2 3
potem sprawdzam czy wektory		,		,		sa liniowo niezalezne.

(tak)

	1 2 0 1		−1, 2 2 1		2 8 2 3		2 2 −1 1
nastepnie sprawdzam		,		,		,		te sa liniowo

	2 2 −1 1
zalezne, wiec wyrzucam wektor		.

	1 2 0 1		−1, 2 2 1		2 8 2 3
Baza tej przestrzeni to {		,		,		}.

Aby uzupelnic do bazy M_2x2 brakuje mi 1 wektora. Wybiore go z bazy standardowej przestrzeni

	1 0 0 0
M2x2. Np.		.

	1 2 0 1		−1, 2 2 1		2 8 2 3		1 0 0 0
wtedy wektory		,		,		,		beda liniowo niezalezne bo

ich wyznacznik jest rozny od zera.

	1 2 0 1		−1, 2 2 1		2 8 2 3		1 0 0 0
stad: baza przestrzeni M2x2 jest np. {		,		,		,		}.

zadanie: 5. Dany jest uklad wektorow {x+4, 3x−1}. Podajac odpowiednie uzasadnienie, uzupelnij go do bazy przestrzeni R₃[x]. Przestrzen R₃[x] ma wymiar 4. W bazie beda 4 wektory liniowo niezalezne. Brakuje jeszcze 2. Mozna je wybrac z bazy standardowej przestrzeni R₃[x] czyli {x³, x², x, 1}. Wybiore x³ i x² a nastepnie policze wyznacznik 0 0 1 0 0 0 0 1 =−13≠0 ; stad wektory sa liniowo niezalezne. 1 3 0 0 4 −1 0 0 Baza przestrzeni R₃[x] moze byc np. {x+4, 3x−1, x³, x²}.

zadanie: prosilbym o sprawdzenie tych zadan

zadanie: A z tymi zadaniami mam problem, wiec poprosilbym o pomoc 6. Wyznacz te wartosci parametru a, dla ktorych zachodzi rownosc lin{(2, 1, 0, a), (0, 1, 2, 2), (0, 1, 1, 2), (a, 0, 2, a)}=R⁴. 7. Wskaz taka baze przestrzeni wektorowej R₃[x], aby wektor v=x+3 mial w niej wszystkie wspolrzedne rowne 1. Sprawdz, czy zaproponowany uklad wektorow jest rzeczywiscie baza tej przestrzeni. 8. Wspolrzedne wektora (1, −4, 5, −4) w pewnej bazie podprzestrzeni U⊂R⁴ wynosza [3, −1], a wektora (1, 6, 0, 1) wynosza [3, 4]. Wyznaczyc te baze.

zadanie: ?

Krzysiek: 6. ułóż macierz z tych wektorów i jeżeli wyznacznik będzie różny od zera to wektory będą liniowo niezależne. 7. popróbuj coś ułożyć. taki mój pomysł (nie wiem czy dobry) B={3+x³,−x³+x²,−x²+2x,−x} chyba wyznacznik różny od zera wychodzi ale na szybko liczyłem. 8. (1,−4,5,−4)=3u₁−u₂ (1,6,0,1,)=3u₁+4u₂ i odejmij stronami a wyliczysz u₂ resztę zadań sprawdzę jak będę umiał/pamiętal później bo teraz nie mam czasu albo ktoś inny to zrobi.

zadanie: dobrze dziekuje

zadanie: 6. wyszlo mi, ze wyznacznik jest rowny zero dla a=0 lub a=4. czyli rownosc ta zachodzi dla a∊R\{0, 4}. bo chodzi o to zeby te wektory byly liniowo niezalezne? wtedy beda tworzyly baze przestrzeni R⁴ i rownosc bedzie zachodzic.

Krzysiek: 6 ok. skoro są liniowo niezależne i tych wektorów jest 4 to wygenerują każdy wektor należący do R⁴. 1. jak dla mnie tam ma być: 5ax³+2bx²+cx+d≡0 więc a=0,b=0,c=0,d=0... 2.U={f∊R₁[x];f(x)=−5bx−14b,b∊R} nie jest podprzestrzenią (aby była podprzestrzenią musiałaby ta prosta przechodzić przez punkt (0,0) ) 3.ok 4.sprawdziłem,że te 4 (na końcu) macierze są liniowo niezależne więc początek pewnie też dobry. 5.ok

zadanie: dziekuje czyli w 1 zadaniu jaka jest baza? {5x³, 2x², x, 1} ? dlaczego zle zrobilem? bo ja po prostu to co wyliczylem podstawilem pozniej do ogolnego f(x)=... w podobnym zadaniu, w ktorym tez byly podane warunki tez tak zrobilem i bylo dobrze czemu tutaj tak nie mozna?

Krzysiek: 1. jak a=b=c=d=0 to V={0} może w podobnych przykładach nie miałeś 'x' więc była normalna równość przykładowo: a+b+c+d=0 więc mogłeś wyliyczyć np. d=−a−b−c ale jak masz ax²+bx=0 to już a=b=0

zadanie: dziekuje

zadanie: a w tym 2 zadaniu to korzystamy z tego, ze wektor zerowy nalezy do kazdej podprzestrzeni?

Krzysiek: no albo rozpisujesz jeden z warunków i pokazujesz,że nie zachodzi.

zadanie: no wlasnie a jak np. zapisac ten warunek? (obojetnie ktory)

Krzysiek: f,g∊U ⇒f(x₁)=−5bx₁−14b ,g(x₂)=−5bx₂−14b f+g=−5bx₁−14b+(−5bx₂−14b)=−5b(x+1+x₂)−28b∉U (dla b≠0 )

zadanie: dziekuje