wektory zadanie: Podany uklad wektorow uzupelnij do bazy wskazanej przestrzeni. V=R₅[x], uklad 1+x, x²+x³, x⁴−x⁵. Wymiar tej przestrzeni to 6, czyli brakuje jeszcze trzech wektorow. Mozna je wybrac z bazy standardowej {1,x,x²,x³,x⁴,x⁵} przestrzeni R₅[x]. najpierw biore 1 czyli {1+x, x²+x³, x⁴−x⁵, 1} i teraz musze spr. czy ten uklad jest liniowo niezalezny jesli bedzie to dobieram nastepny wektor x i robie to samo {1+x, x²+x³, x⁴−x⁵, 1, x} (jak nie bedzie liniowo niezalezny to wyrzucam go i biore nastepny) no i musze kilka tak posprawdzac. i teraz mam pytanie jak mozna szybko sprawdzic ich liniowa niezaleznosc? bo z definicji to chyba troche dlugo

Krzysiek: ja bym skorzystał z wyznacznika i tak dobrał współrzynniki by wyznacznik był różny od zera. 1+x=[1,1,0,0,0,0] (pierwsza kolumna) x²+x³=[0,0,1,1,0,0] druga kolumna x⁴−x⁵=[0,0,0,0,1,−1] trzecia kolumna i dopisujesz jeszcze 3 kolumny tak by wyznacznik był różny od zera. ja zrobiłem tak: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 (w ostatnim wierszu w 4 kolumnie musiałem dopisać '1' bo bez niej wiersz 5 i 6 byłyby proporcjonalne i wyznacznik =0)

zadanie: dziekuje

zadanie: Oblicz wspólrzedne wskazanych wektorów v w wybranej przez siebie bazie przestrzeni V.

	3 1 −2 −3
V={A=[aij]∊M2x2 : a11+a22=0}, v=

z warunku a₁₁+a₂₂=0 mam a₂₂=−a₁₁

a b c −a		1 0 0 −1		0 1 0 0		0 0 1 0
	=a		+b		+c

	1 0 0 −1		0 1 0 0		0 0 1 0
baza to: {		,		,		}

3 1 −2 −3		x y z −x
	=

x=3, y=1, z=−2 i szukane wspolrzedne wektora w tej bazie to v=[3, 1, −2]. (tak jest w odp.) no wlasnie ale dlaczego nie moze byc tak: v=[3, 1, −2, 3]? bo przeciez z tej rownosci wychodzi jeszcze −3=−x czyli x=3.

Krzysiek: masz 3 wektory w bazie więc i 3 współrzędne będziesz mieć. przecież: v=[3,1,−2] oznacza,że:

	1 0 0 −1		0 1 0 0		0 0 1 0
v=3*		+1*		−2*

zadanie: dziekuje a ilosc wektorow w bazie zawsze pokrywa sie z iloscia wspolrzednych tego wektora w tej bazie?

zadanie: ?

Krzysiek: no tak przecież jak masz bazę B={v₁,...v_n} to wektor v w bazie B o współrzędnych a₁,..,a_n czyli: v=[a₁,...,a_n]=a₁v₁+...+a_nv_n

zadanie: a moze byc tak, ze ilosc wspolrzednych wektora nie bedzie rowna wymiarowi przestrzeni w jakiej sie znajduje?

WueR: Nie jest to mozliwe. Zastanow sie czym dokladnie sa wspolrzedne wektora w bazie. Przeciez to pewna kombinacja liniowa.

zadanie: dziekuje

zadanie: czyli wracajac jeszcze do zadania z 14:22 tymi wektorami uzupelniajacymi do bazy sa 1+x⁵, x, x² czy tak?

Krzysiek: Tak dobrze by było gdybyś Sam spróbował ułożyć taką macierz by wyznacznik był różny od zera. Albo jak już wziąłeś tą macierz co napisałem to mam nadzieję,że sprawdziłeś czy rzeczywiście wyznacznik jest różny od zera (mogłem się pomylić).

zadanie: dziekuje