wektory zadanie: Zbadaj bezposrednio z definicji liniowa niezaleznosc nastepujacych ukladow wektorow w przestrzeni wektorowej R₂[x]. 1+x, 2−x, 3x−5 niech a.b.c ∊R a(1+x)+b(2−x)+c(3x−5)=0 a+ax+2b−bx+3cx−5c=0 x(a−b+3c)+a+2b−5c=0 a−b+3c=0 a+2b−5c=0 1 −1 3 0 1 2 −5 0 1 −1 3 0 0 3 −8 0 a−b+3c=0 3b−8c=0 a=b−3c

	8
b=		c
	3

	1
czyli a=−		c
	3

	1
a=−		c
	3

	8
b=		c
	3

c=c niech c=u oraz u∊R

	1
a=−		u
	3

	8
b=		u
	3

c=u rozwiazan jest nieskonczenie wiele czy to oznacza, ze ten uklad jest liniowo zalezny?

ICSP:

zadanie: czyli wektory te sa liniowo zalezne

zadanie: aby wektory byly liniowo niezalezne to uklad rownan musi miec dokladnie jedno rozwiazanie postaci a₁=a₂=a₃=...=a_n=0 prawda?

ICSP: jakie wektory ? jaki układ równań ? Ska się on wziął ?

zadanie: chodzilo mi ogolnie np. wektory v₁,v₂,...,v_n sa liniowo niezalezne jezeli dla a₁,a₂,...,a_n ∊R z rownosci a₁v₁+...+a_nv_n=0 wynika, ze a₁=...=a_n=0. stad powstaje uklad rownan i aby wektory te byly liniowo niezalezne to uklad rownan musi miec dokladnie jedno rozwiazanie postaci a1=a2=a3=...=an=0 tak?

zadanie: czy cos zle rozumiem?

Krzysiek: tak.

zadanie: a moglbym prosic o wytlumaczenie?

Krzysiek: ale czego? przecież taka jest definicja http://pl.wikipedia.org/wiki/Liniowa_niezale%C5%BCno%C5%9B%C4%87

zadanie: no tak ale chcialbym wiedziec co zle rozumiem bo to co napisalem o 16:15 chyba jest niepoprawne

zadanie: mam jeszcze kilka pytan dotyczacych przestrzeni liniowych

	a b c d
majac macierz		moge zapisac ja w postaci wektora (a,b,c,d) ?

Krzysiek: tzn moje 'tak' było odnośnie postu z 16.15 a nie,że coś źle rozumiesz. a co do postu 17.18 możesz ale po co?

zadanie: bo czasami sa takie zadania, ze sa podane macierze i nalezy sprawdzic czy tworza one baze jakiejs przestrzeni wtedy wole zapisac to w postaci wektora sprawdzajac np. liniowa niezaleznosc

zadanie: a czy dotyczy to rowniez innych macierzy tzn. niekwadratowych

	a b c d e f
np.		w postaci wektora to (a,b,c,d,e,f)

albo a b c d e f w postaci wektora to (a,b,c,d,e,f) czy tak tez mozna?

Krzysiek: zapisywać to sobie możesz jak chcesz (dopóki to nie zmieni znaczenia) co do sprawdzania czy macierze tworzą bazę to masz jedno dwa zadania co i tak zapisując αA+βB+γC+δD=0 i masz układ z 4 równaniami (A,B,C,D−macierze) lub αv₁+βv₂+γv₃+δv₃=0 gdzie v_i to wektory i też układ z 4 równaniami nie bardzo widzę co to zmienia. A w reszcie zadań i tak nic nie zamiana macierzy na wektor

zadanie: dziekuje i jeszcze ostatnie mam dane wektory w takiej postaci x²+1, 2x+3, x²+2x, x²+x+1 moge zapisac je rowniez tak: (1,0,1,1), (0,2,2,1),(1,3,0,1) ?

Krzysiek: raczej tak: (1,0,1),(0,2,3),(1,2,0),(1,1,1) (albo odwrotnie współrzędne zależy jak wolisz, czy jak tam ustalaliście na wykładzie/ćwiczeniach czy od najwyższego stopnia czy od najniższego)

zadanie: bo patrzylem na taki przyklad i bylo zrobione tak (zadanie dotyczylo wskazania bazy i wymiaru przestrzeni) (2x, x+y, 3x−y, x−2y)=x(2,1,3,1)+y(0,1,−1,−2) dlatego myslalem, ze przy tych wielomianach tez mozna odczytywac jakby ''poziomo'' (w kolejnosci poteg x) czyli najpierw x² i dlatego wyszlo mi (1,0,1,1)

zadanie: od czego to zalezy?

Krzysiek: przecież u góry masz napisane: dane są wektory−4 wektory. i w zależności jak przyjmujecie czy baza kanoniczna to czy wektor postaci: 1+2x+3x² to: (1,2,3) czy (3,2,1) to i tak nadal będą wymiaru 3. poczytaj notatnki z wykłądu jak określacie bazę standardową przestrzeni wielomianów stopnia 'n'

zadanie: nie chodzi mi o kolejnosc (1,2,3) czy (3,2,1) nie rozumiem takiej rzeczy: majac np. {x³+3, x²+2, x+1} to czy mam to zapisac jako (1,0,0,3),(0,1,0,2),(0,0,1,1) czy jako (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(3,2,1) jak mam odczytywac te wektory?

Krzysiek: dobrze by było gdybyś napisał całość np. do jakiej przestrzeni należą te wektory? wszystko od tego zależy. zapewne te wektory należą do R[x]₃ i dimR[x]₃=4 i baza standardowa tej przestrzeni (wielomianów stopnia co najwyżej 3) to B_s=(1,x,x²,x³) więc x³+3 możesz zapisać jako [3,0,0,1]_Bs bo 3*1+0*x+0*x²+1*x³=x³+3

zadanie: Zadanie jest takie Znajdz zbiory generatorow nastepujacych podprzestrzeni: a) {(x₁,...,x₅) ∊R⁵ : x₁+2x₂−x₃−x₄−x₅=0} b) {f ∊ R₃[x] : f(0)−f'(1)=0}. a) czyli x₁=−2x₂+x₃+x₄+x₅ stad: (−2x₂+x₃+x₄+x₅, x₂, x₃, x₄, x₅) i teraz jak to odczytac np. (w ''poziomie'') : (−2,1,0,0,0) czy (w ''pionie) : (−2,1,1,1) ? b) f(x)=ax³+bx²+cx+d ; f(0)=d f'(x)=3ax²+2bx+c ; f'(1)=3a+2b+c f(0)−f'(1)=0 d−3a−2b−c=0 d=3a+2b+c czyli f(x)=ax³+bx²+cx+d=ax³+bx²+cx+3a+2b+c=a(x³+3)+b(x²+2)+c(x+1) lin{x³+3, x²+2, x+1} i to jest zbior generatorow ale ja chcialbym zapisac to teraz w postaci wektorow i wlasnie nie wiem jak ? czy (1,0,0,3) czy (1,0,0) ?

Krzysiek: a)(−2x₂+x₃+x₄+x₅, x₂, x₃, x₄, x₅)=x₂(−2,1,0,0,0)+x₃(1,0,1,0,0)+x₄(1,0,0,1,0)+x₅(1,0,0,0,1) inna sprawa,że skoro ∊R⁵ to nie może być (−2,1,1,1) bo ∊R⁴ b) podobnie skoro f∊R₃[x] to nie możesz mieć (1,0,0)∊R³

zadanie: a) rozumiem ale b) nie dlaczego jesli f ∊ R₃[x] to nie moge miec (1,0,0) ktore nalezy do przestrzeni R³ ?

Krzysiek: przecież wyżej rozpisałem bo wymiar R₃[x]=4 a nie 3 no i wystarczy rozpisać sobie wektor tak jak wyżej to zrobiłem. baza dla tej przestrzeni skłąda sie z 4 wektorów: (1,x,x²,x³) no i zapisujesz np. x²+2 jako wektor w tej bazie standardowej: x²+2=(2,0,1,0)

zadanie: dziekuje w tym zadaniu wektory x3+3, x2+2, x+1 sa baza w R₂[x] ?(bo sa liniowo niezalezne) i wymiar wynosi 3 (mamy 3 wektory).

Krzysiek: nie... no jak mogą należeć do R₂[x] skoro x³+3 jest wielomianem stopnie 3 a do R₂[x] mogą należeć wielomiany co najwyżej stopnia drugiego. i wektory są liniowo niezależne i wymiar tej podprzestrzeni wynosi 3.

zadanie: a jakbym teraz chcial do podpunktu b) znalezc baze i wymiar tej przestrzeni ? mam zbior generatorow tej przestrzeni (R₃[x[) x³+3, x²+2, x+1

Krzysiek: to skoro wiesz,że te wektory są niezależne to tworzą bazę tej podprzestrzeni i wymiar wynosi 3.

zadanie: ale dokladnie nie wiadomo jaka to przestrzen prawda? wiemy tylko, ze jej wymiar to 3 bo baze tworza 3 wektory.

Krzysiek: przecież masz daną podprzestrzeń: {f ∊ R₃[x] : f(0)−f'(1)=0}. czyli każdy wielomian stopnia co najwyżej 3, spełniający f(0)−f'(1)=0

zadanie: no tak ale wymiar tej podprzestrzeni to 4 a wyszlo, ze 3

WueR: Nie. Wymiar R₃ to 4...a to co rozwazasz to jest podprzestrzen R₃, czyli niekoniecznie cos o tym samym wymiarze. Masz tam dodatkowy warunek, ktory "wyrzuca" czesc wektorow z R₃, a co za tym idzie, wymiar moze byc mniejszy.

zadanie: dziekuje