Zagadnienia optymalizacyjne Boa: 1) Z kawałka drutu o długości 60 cm wykonano prostokątną ramkę. ramka ta obracając się wokół jednego z boków, zakreśla walec. a)Wyraź objętość walca jako funkcję zmiennej x, gdzie x to promień podstawy walca i określ dziedzine. b)wyznacz wartość zmiennej x, dla której objętość walca jest największa 2) W rogac prostokątnego arkusza blachy o wymiarach 36cm na 24cm wycieto cztery przystające kwadraty i po zgięciu blachy otrzymano pudełko(bez górnej ścianki) o największej możliwej objętości. oblicz wysokość pudełka.

Janek191: z.1 a) 2 x + 2 h = 60 x + h = 30 h = 30 − x V = π x²*h = π x²*( 30 − x) x ∊ ( 0 ; 30) −−−−−−−−−−−−

Janek191: b) V(x) = 30π x² − π x³ V'(x) = 60π x − 3π x² = 0 ⇔ x*( 20 − x) = 0 ⇔ x = 20 V"(x) = 60π − 6π x V"( 20) < 0 V jest największe dla x = 20. =====================

Boa: Janek a skąd się wziął wzór V(x)?

Janek191: V(x) = ( 36 − 2x)*( 24 − 2x)*x = ( 864 − 72 x − 48 x + 4 x²)*x = 4 x³ − 120 x² + 864 x więc V'(x) = 12 x² − 240 x + 864 = 0 ⇔ x² − 20 x + 72 = 0 Δ = 400 − 4*1*72 = 400 − 288 = 112 = 16*7 √Δ = 4√7

	20 − 4√7
x =		= 10 − 2√7 lub x = 10 + 2√7 ≈ 15,3 − odpada
	2

V" (x) = 2x − 20 V"( 10 − 2√7) = 20 − 4√7 − 20 = − 4√7 < 0 Objętość pudełka jest największa dla x = 10 − 2√7. =====================================

Janek191: z.1 Wzór na objętość walca V = P_p*h = π r² *h Ponieważ r = x oraz h = 30 − x więc V(x) = π x²*( 30 −x) = 30π x² − π x³ ================

Janek191: Wykorzystano I i II pochodną do wyznaczenia maksimum funkcji V(x)

Boa: Dzięki bardzo