Trygonometria Sylwia: Wykaż, ze równanie nie ma rozwiązań sinx+sin2x+sin3x+...+sin100x=100 Nie mam kompletnie pomysłu na rozwiązanie tego zadania

Piotr 10: Liceum czy studia ?

Sylwia: Liceum, ale zbiorek radziecki

Piotr 10: nie wiem czy to coś da , ale ale masz linka: http://www.math.upenn.edu/~kazdan/202F09/sum-sin_kx.pdf

ZKS: Wystarczy zauważyć już na samym początku, że sin(x) + sin(2x) dla żadnego x ∊ R nie osiągną wartości równej 2, zatem cała suma na pewno nie osiągnie wartości równej 100. Musiało by zachodzić 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 100 , ponieważ jak wiemy sin(α) osiąga wartość największą równą 1.

Sylwia: Dlaczego nie będzie nigdy tak że same jedynki będą?

Godzio:

	π
sinx osiąga wartość 1 dla x =		+ 2kπ
	2

Suma 100 sinusów da 100 tylko wtedy gdy każdy z nich będzie się równać 1,

	π		π
sin(		+ 2kπ) = 1 więc wstawiamy x =		+ 2kπ do każdego sinusa
	2		2

	π		π		π
sin(		+ 2kπ) + sin(2(		+ 2kπ)) + ... + sin(100(		+ 2kπ)) =
	2		2		2

= 1 + sin(π + 4kπ) + ... + sin(50π + 200kπ) = = 1 + sin(π) + ... + sin(50π) = = 1 + 0 ( ) + ... + sin(50π) < 100

Mila: Najwieksza wartość sinx jest równa 1 Aby równanie było spełnione , to musiałby byc spełniony warunek , że każdy składnik sumy jest równy 1. sinx=1 sin2x=1 ...⇔ sinx=sin2x=sin3x=...=sin100x=1 a to jest niemożliwe

	π
sin		=1
	2

	π
sin(2*		)=0 widzimy , że te dwa równania
	2

sinx=1 i sin(2x)=1 nie mają wspólnych , podobnie wśród pozostałych składników.

Mila: nie mają wspólnych pierwiastków.