Algebra grupa Matstud: Sprawdź czy zbiór macierzy M(gdzie a,b∊ℚ;a²−3b²>0)stanowi grupę względem mnożenia: |a 3b| M=|b a|

Matstud:

Matstud:

Matstud:

Matstud:

Godzio: A jakie są warunki, aby zbiór był grupą?

Godzio: a² − 3b² > 0 oznacza, że wyznacznik jest dodatni, co za tym idzie istnieje element odwrotny (wypada go wyznaczyć) neutralny to standardowo macierz jednostkowa. No i zostaje łączność, ale wiemy, że mnożenie macierzy jest łączne (ale już nie przemienne!)

Matstud: ale czy mogę wymnożyć macierz M * I jednostkowa

Godzio: Tak, bo niby czemu nie? M * I = I * M = M (takie coś zachodzi dla każdej kwadratowej macierzy M)

PW: Chyba najważniejsze jest pokazanie, że iloczyn macierzy takiego typu (elementy wymierne, jedna przekątna złożona z równych liczb, druga z liczby i jej 3−krotności) jest też macierzą tego typu. Sprawdziłem, jest − trzeba to cierpliwie wymnożyć:

	a 3b b a		c 3d d c
		•		= ...

	1 0 0 1
Element jednostkowy grupy macierzy z mnożeniem, macierz		też jest tego typu (na

jednej przekatnej 1 i 1, na drugiej 0 i 3•0 ). Reszta, jak pisze Godzio, wynika z faktu, że zbiór macierzy z mnożeniem jest grupą.

Godzio: No właśnie, często się o tym zapomina − sprawdzenie czy działanie jest zamknięte ze względu na tę operację

Matstud: czyli ten zbiór macierzy nie jest grupą bo psuje nam się w łączności

Matstud: tzn przemienności

Godzio: No nie psuje Łączność wynika z łączności mnożenia macierzy

Godzio: Przemienność to dodatkowa cecha, nie musi być spełniona, aby zbiór był grupą.

Matstud: a jak będzie wyglądał element odwrotny do takiej macierzy M=|1+a a| | a 1−a |

Matstud: bo mi wychodzi |1+a a| A=|a 1−a|

Matstud: odwrotnie |1−a a| A=|−a 1+a|

Godzio: detM = 1 − a² − a² = 1 − 2a²

	1		1−a −a −a 1+a
M−1 =
	1 − 2a2

(o ile wyznacznik jest niezerowy)

Matstud: A jak udowodnić że φ(6) jest grupą abelową?