Wielomiany, dział powtórzeniowy Fastadi: 1.Wyznacz wartości parametru m (m ∊R), dla której równanie x⁴−3mx²−4m²+4=0 ma trzy różne rozwiązania. Dla znalezionek wartości parametru m rozwiąż nierówność x⁴−3mx²+4≥0. 2. Dla jakich wartości parametru m (m∊R) równanie x⁴+(m−1)x²+m²+4m−5=0 ma dwa różne rozwiązania? Prosiłbym o jakieś zrozumiałe wytłumaczenie tych zadań, wiem, że na pewno trzeba założyć x²=t, x>0, t>0 w obydwu zadaniach. W drugim zadaniu doszedłem to warunków Δ>0, t1t2<0, jednak nie wychodzi ten przedział co powinien. Z góry dziękuję. Rozwiązania: 1. m=1, x∊(−∞,−√3> ∪ { 0 } ∪ <√3, +∞) 2. m∊(−5,1)∪{ −7 }

Kaja: 1. t=x² t²−3mt−4m²+4=0 Δ>0 i t₁*t₂=0 i t₁+t₂>0 Δ=9m²−4*(−4m²+4)=9m²+16m²−16=25m²−16 Δ>0⇔25m²−16>0 (5m−4)(5m+4)>0 m∊(−∞;−⁴₅)∪(⁴₅;+∞) t₁*t₂=0

−4m2+4
	=0
1

4m²=4 m=1 lub m=−1 t₁+t₂>0 3m>0 m>0 zatem końcowo m=1

Kaja: a czy ta nierówność jest poprawnie przepisana?

Kaja: bo przy moich obliczeniach nie wychodzi mi taki wynik jak podałeś

Kaja: 2. warunki masz prawidłowe

Fastadi: Jak najbardziej nie równość źle przepisałem, powinna wyglądać x⁴−3mx²−4m²+4≥0. Tylko, że w tym drugim zadaniu wychodzą mi przedziały (−7,1) oraz (−5,1), a z tego co wiem powinno się wziąć część wspólną (więc nie wyjdzie takie samo rozwiązanie). I jeszcze, że zapytam dlaczego t1*t2 =0 ?

razor: jeden pierwiastek jest równy 0 a drugi jest dodatni

Kaja: w tym drugim powinieneś jeszcze rozpatrzyć przypadek , że Δ=0 i t₀>0

Kaja: ad.1 x⁴−3x²≥0 x²(x²−3)≥0 x²(x−√3)(x+√3)≥0 x∊(−∞;−√3>∪{0}∪<√3;+∞)

Fastadi: t₀>0 ? Nie bardzo rozumiem, dlaczego akurat t₀>0 ?

Kaja: w tym drugim przedziały wyszły dobrze. część wspólne tego to (−5;1) i teraz jeszcze przypadek Δ=0 i t₀>0 Δ=0⇔m∊{−7;1}

	1−m
t0=		>0
	2

1−m>0 m<1 zatem m=−7

Ina: 2 . x² = t t²+(m−1)t+m²+4m−5=0 t≠0 Δ= (m−1)² − 4(m²+4m−5) = m² − 2m + 1 − 4m² − 16m +20 = −3m² + 21 − 18m Δm=576 √Δ = 24 m= 18−24 / −6 = 1 m=18+24 /−6 = −7 m∊<−7,1> dla t=0 m²+4m−5=0 Δ=16+20 = 36 √Δ=6 m=−5 m=1 m∊(−5,1) Odp m∊(−5,1)∪{ −7 }

Kaja: ponieważ t=x², więc jesli t<0 to równanie początkowe nie ma rozwiązania, bo byś wtyedy miał x²<0, a jak t₀=0, to początkowe równanie miałoby tylko rozwiązanie x=0

Kaja: Ina czemu rozpatrujesz t=0? i skąd ci sie wzięło przy twoich warunkach m=−7?