wzór ogólny ciągu rekurencyjnego z funkcji tworzacej miko94: Czy mógłby mi ktoś to wytłumaczyć? Wyznaczyć wzór ogólny ciągu, określonego rekurencyjnie wykorzystując funkcję tworzącą : a₀=−4 a₁=−3 a₂=−7 a_n=2a_n−1+a_n−2−2a_n−3 i a₀=0 a_n=2a_n−1 +2n+1

Mariusz: 1. ∑_n=0a_nxⁿ=A(x) ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞2a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞a_n−2xⁿ−∑_n=3^∞2a_n−3xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=2x∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹+x²∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻² −2x³∑_n=3^∞a_n−3xⁿ⁻³ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=2x∑_n=2^∞a_nxⁿ+x²∑_n=1^∞a_nxⁿ −2x³∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ+4+3x+7x²=2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ+4+3x)+x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ+4) −2x³∑_n=0^∞a_nxⁿ A(x)+4+3x+7x²=2x(A(x)+4+3x)+x²(A(x)+4)−2x³A(x) A(x)+4+3x+7x²=2xA(x)+8x+6x²+x²A(x)+4x²−2x³A(x) A(x)(1−2x−x²+2x³)=−4+5x+3x²

	−4+5x+3x2
A(x)=
	1−2x−x2+2x3

	−4+5x+3x2
A(x)=
	(1−2x)(1−x2)

	−4+5x+3x2
A(x)=
	(1−2x)(1+x)(1−x)

−4+5x+3x2		A		B		C
	=		+		+
(1−2x)(1−x)(1+x)		1−2x		1+x		1−x

−4+5x+3x²=A(1−x²)+B(1−2x)(1−x)+C(1−2x)(1+x) −4+5x+3x²=A(1−x²)+B(1−3x+2x²)+C(1−x−2x²) A+B+C=−4 −3B−C=5 −A+2B−2C=3 A+B+C=−4 −3B−C=5 3B−C=−1 A=−1 B=−1 C=−2

−4+5x+3x2		1		1		1
	=−		−		−2
(1−2x)(1−x)(1+x)		1−2x		1+x		1−x

−4+5x+3x2
	=−(∑n=0∞2nxn)−(∑n=0∞(−1)nxn)
(1−2x)(1−x)(1+x)

−2(∑_n=0^∞xⁿ) a_n=−2ⁿ−(−1)ⁿ−2 2. ∑_n=0^∞(2n+1)xⁿ=∑_n=0^∞(2n+2)xⁿ−∑_n=0^∞xⁿ =2(∑_n=0^∞(n+1)xⁿ)−∑_n=0^∞xⁿ

	1
∑n=0∞{xn}=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞{xn})=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞{nxn−1}=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞{nxn−1}=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞{(n+1)xn}=
	(1−x)2

	2		1		2−(1−x)
2(∑n=0∞(n+1)xn)−∑n=0∞xn=		−		=
	(1−x)2		1−x		(1−x)2

	x+1
=
	(1−x)2

∑_n=0^∞a_nxⁿ=A(x) ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞2a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(2n+1)xⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=2x∑_n=1^∞a_n−1xⁿ⁻¹+∑_n=1^∞(2n+1)xⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ−0=2x∑_n=0^∞a_nxⁿ+∑_n=0^∞(2n+1)xⁿ−1

	x+1
∑n=0∞anxn=2x∑n=0∞anxn+		−1
	(1−x)2

	x+1−(1−x)2
A(x)(1−2x)=
	(1−x)2

	3x−x2
A(x)(1−2x)=
	(1−x)2

	3x−x2
A(x)=
	(1−2x)(1−x)2

3x−x2		A		B		C
	=		+		+
(1−2x)(1−x)2		1−2x		1−x		(1−x)2

3x−x²=A(1−2x+x²)+B(1−2x)(1−x)+C(1−2x) 3x−x²=A(1−2x+x²)+B(1−3x+2x²)+C(1−2x) A+B+C=0 −2A−3B−2C=3 A+2B=−1 C=−A−B B=−3 A+2B=−1 C=−2 B=−3 A=5

	5		3		2
A(x)=		−		−
	1−2x		1−x		(1−x)2

A(x)=5(∑_n=0^∞2ⁿxⁿ)−3(∑_n=0^∞xⁿ)−2(∑_n=0^∞(n+1)xⁿ) a_n=5 2ⁿ −3−2(n+1) a_n=5 2ⁿ−2n−5