rachunek jadziaa: zmienna losowa X ma rozklad beta o gestosci f(x)= 12x(1−x)² dla 0<x<1 0 poza przedzialem wyznaczyc gestosc zmiennej losowej Y jesli Y=2X³ Czy moglby mi ktos wytlumaczyc takie zadanie na przykladzie? wiem ze jest do tego wzor, ale on sie chyba sprawdza tylko dla funkcji nie malejacych.. a tu widzimy z mamy kawalek paraboli. czy ktos zechcial by mi poswiecic chwilke ?

Godzio: Może tak: f(x) − gęstość zmiennej X, F_X(x) − dystrybuanta zmiennej X F_X(x) = P(X ≤ t) G_Y(x) − dystrybuanta zmiennej Y, g(x) − gęstość zmiennej Y G_Y(x) = P(Y ≤ t) = P(2X³ ≤ t) = P(X ≤ ³√t / 2) = F_X(³√t / 2)

	1		t		1
g(x) = (GY(x))' = (FX(3√t / 2))' = f(3√t / 2) *		(		)−2/3 *
	3		2		2

jadziaa: a jak wyznaczyc przedzial

Godzio: Przedział jest cały czas taki sam.

Godzio: A sorki, jest 2 * więc będzie 0 < x < 2

Godzio: Jeszcze mały szczegół, na samym końcu pisałem g(x) więc w pochodnej już powinny być x, a nie t

jadziaa: bo w odpowiedziach mam ze y ∊(0,2)

jadziaa: a mozna wiedziec skad te 2 ?

jadziaa: bo ogolnie na cwiczeniach my rozpratrywalismy rozne przypadki i nie wiem skad to sie bralo. i myslalam ze tu tez trzeba...

Godzio: Skoro x ∊ (0,1) to x³ ∊ (0,1) więc 2x³ ∊ (0,2)

jadziaa: ok dziekuje slicznie

jadziaa: a jak mam taki przyklad. zmienna X ma rozklad jednostajny na odcinku [−1,2] znalezc gestosc zmiennej losowej Y=X²

	1
no to fX(x)=		dla x∊[−1,2]
	3

0 w przeciwnym przypadku i jak to zrobic?

Godzio: P(Y ≤ x) = P(X² ≤ x) = P(−√x ≤ X ≤ √x) = P(X ≤ √x) − P(X < − √x) No i dalej analogicznie jak wyżej. Teraz pozostaje pytanie o przedział x ∊ [−1,2] no to x² ∊ [0,4]

jadziaa:

	1
bo na cwiczeniach mam ze fY(y)=		*fX(√y)+fX(−√y)
	2√y

i nagle mam rozpatrywane 3 przypadki

	1		1		1
gdy y∊(0,1> i wychodzi ze fY(y)=		*(		+		)
	2√y		3		3

	1		1
y∊(1,4) fY(y)=		*(		+0)
	2√y		3

	1
y∊<4,+∞) fY(y)=		*(0+0)
	2√y

i nie mam zielonego pojecia skad to sie wzielo

Godzio: No tak trzeba rozważyć trzy przypadki bo w zależności gdzie leży √y i −√y mamy różne wartości f_X (a to jest funkcja stała kawałkami.

jadziaa: Moglbys mi podac podobny przyklad zebym mogla sama roziwazac? bo w ksiazkach nie moge znalezc zadnego na funkcje kwadratowa...

Godzio: Ale to już wydaje się raczej logiczne, bo jak chcesz policzyć f_X(√y) no to musisz zobaczyć gdzie leży √y

	1
wiemy, że f(x) =		dla x ∊ (−1,2) no to u nas
	3

− 1 ≤ √y ≤ 2 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4 −1 ≤ − √y ≤ 2 (druga nierówność zawsze jest spełniona) 1 ≥ √y ⇒ 1 ≥ y ≥ 0 Stąd mamy

	1
fX(√y) =		dla y ∊ [0,4]
	3

	1
fX(−√y) =		dla y ∊ [0,1]
	3

poza oczywiście 0

Godzio: No to np. Y = X⁴ rozkład jednostajny [−2,1]

jadziaa:

	1
wiec znowu mamy fX(x)=		dla x∊ [−2,1] i
	3

o w pozostalym przypadku

Godzio: Tak

jadziaa: G_Y(y)=P(Y<y)=P(X⁴<y)=P(−⁴√y <X< ⁴√y)=F_X(⁴√y)−F_X(−⁴√y)

Godzio: Na razie ok.

jadziaa:

	1
g(x)=GY'(y)= (FX(4√y)−FX(−4√y)) '= fX(4√y) *		+fX(−4√y) *
	4*4√ y3

	1
	4*4√ y3

jadziaa: chyba cos namieszalam...

jadziaa: zamiast y powinno byc x

Godzio: Jest dobrze (już oznaczenie nie jest takie ważne, ale trzeba na nim do końca pracować )

jadziaa: wiec teraz robiac analogicznie wychodzi −2≤⁴√y≤1 nierownosc z lewej zawsze jest spelniona => y≤1 −2≤−⁴√y≤1 nierownosc z prawej tez jest zawsze spelniona => 16≥y czy tam powina byc nierownosc ostra czy nie ostra?

Godzio: No ale patrzmy na dziedzinę też. Z pierwszego 0 ≤ y ≤ 1 Z drugiego podobnie 16 ≥ y ≥ 0 Nierówności są ok

jadziaa: czyli koncowka to cos takiego

1
	*(fX(4√y+ fX(−4√y)
4*4√ y3

	1
i za fX wstawiamy ta nasza		tak?
	3

jadziaa: nie no. nie ogarniam tej koncowki

jadziaa: gdy y∊(0,1>

	1
to za fx(4√y) i za fX(−4√y) bedziemy wstawiac
	3

	1
gdy y∊(1,16> za pierwsze wstawimy		a za drugie 0
	3

i gdy y>16 to w nawiasie wyjdzie nam 0+0

Godzio: Tak