Granica ciągu z cosinusem Aneta: Witam, mam do policzenia taką granicę ciągu: lim_(n−>∞) n²(1−cos(¹_n)) Wynik to ¹₂, ale zupełnie nie mam pomysłu jak to uzasadnić. Proszę o pomoc

zombi: z de l'Hospitala ładnie wychodzi.

zombi: a nie wróć mój błąd, nie pykło mi coś.

Aneta: Można de l'Hospiatala do ciągów?

zawodus: Można dwa razy z de'Hospitala, ale to trochę oszustwo

Eta:

	a
Stosując wzór połówkowy : 1−cosa=2sin2
	2

	1		1
to 1−cos		=2sin2
	n		2n

	1		1   1   1   *n2*2sin *sin 4n2   2n   2n
n2*2sin2		=
	2n		1   1   * 2n   2n

	1
to ......... g=		( myślę,że wiesz dlaczego?
	2

zawodus: O kurcze przecież to ciąg Szukamy innego pomysłu

asdf: ja bym tam od razu skorzystal z tego wzoru:

	1−cosx		1
limx→0		=
	x2		2

a tu jego wyprowadzenie: http://blog.etrapez.pl/granice/granice-funkcji/przydatna-granica-funkcji-z-cosinusem/ no i po co sie meczyc?

Aneta: Boże w życiu bym na to nie wpadła Jednak wszystko rozumiem, dziękuję. Jakby ktoś chciał przedstawić prostsze rozwiązanie to proszę się nie krępować

zombi: asdf, ale to nie dąży do 0 tylko do ∞.

asdf: oczywiscie, pierw trzeba przeksztalcic ten wzor:

	1		1   (1 − cos( ))   n
limn→∞n2(1 − cos(		)) = limn→∞		= ...
	n		1   n2

1
	= x
n

n→∞ ⇔ x→ 0 no i pieknie wychodzi:

	1− cos(x)		1
limx→0		=
	x2		2

zombi: Aaaaa chyba, że tak

Eta:

asdf: @Aneta w moim rozwiazaniu uzyte sa granice funkcji. Jezeli Twoj wykladowca nie pozwala wychodzic poza zakres granic ciagu, to moj sposob sie nie sprawdza, a Ety jest jak najbardziej w porządku

asdf: chociaz tez by mogl sie przyczepic, przeciez wzor:

	sinx
limx−>0		= 1 to juz granice funkcji
	x

kurde, nie wiem! sama zdecyduj

Eta:

	1
n→∞ to		→0
	n

zombi: Jeszcze myślałem nad czymś takim, gdyby ktoś nie znał tego wzoru połówkowego to intuicyjne jest

	1+cos(1n)
przemnożenie przez
	1+cos(1n)

Wtedy z automatu mam

sin2(1n)
1   *(1+cos(1n)) n2

Aneta: Wszystko rozumiem. Przykład ma być rozwiązany, nie ważne jak, byle dobrze Tylko chce się upewnić, czyli jak mam np. lim(n→∞) ⁿ_ln(n), to mogę z de l'Hospitala tak? @zombi, na początku właśnie tak zrobiłam, ale nie wiem jakim cudem nie zauważyłam, że to jest sinus

asdf: no i chyba takie rozwiazanie na poziomie "granic ciagu" jest najtrafniejsze

asdf: @Aneta no wlasnie tu nie bardzo, bo tu juz jest inna dziedzina, ale tym samym tropem moje rozwiazanie jest bledne. Nie potrafie Ci odpowiedziec na to pytanie bedac na 100% pewnym

Aneta: A czy ktoś potrafi to w sensowny sposób wyjaśnić? Kiedy można, a kiedy nie można stosować de l'Hospitala do granic ciągów? Albo chociaż podesłać jakiś link z artykułem? Nie mogę tego znaleźć.

asdf: znajdz fraze "z reguły" (albo najlepiej przeczytaj calosc) http://www.math.edu.pl/regula-de-lhopitala

Aneta: To mnie nie przekonuje. Ale znalazłam coś takiego: http://fizyczny.net/printview.php?t=9271&start=0&sid=276038e74465c962e35591c2ad06e63e

zawodus: Do granic ciągów nie wolno korzystać z reguły de'Hospitala Ciągi nie są różniczkowalne Niektórzy stosują "ją na siłę" poprzez pewne sztuczki i przekształcenia

asdf: no i masz odpowiedz z wytlumaczeniem. Aneta, mialas juz pochodne? bo wyjasnienie dlaczego nie mozna tego uzywac odwoluje sie wlasnie do tej definicji

Aneta: Tak miałam pochodne. Teraz jestem na drugim semestrze i przygotowuje się do koła z szeregów. Właśnie robię zadanie z kryterium ilorazowego i do niego potrzebna była mi granica tego ciągu

asdf: no to powodzenia, ja jestem nieco dalej ze studiami i juz raczej czystej matmy miec nie bede, a szkoda bo lubialem Jedynie na programowaniu bede miec kosmos (sztuczna inteligencja w grach)

Aneta: Dziękuję bardzo, przyda się a sztuczna inteligencja w grach brzmi fantastycznie. Gdzie studiujesz i jaki kierunek, jeśli to nie tajemnica? Mój młodszy brat za rok podchodzi do matury i zastanawia się już nad studiami, to może mu polecę

asdf: informatyke, brat niech sam moze wybierze, nie chce za niego

Aneta: Pewnie, że sam wybierze. Dziękuje za odpowiedź Wszystkim dzisiaj bardzo dziękuje, w końcu robota poszła do przodu