Geometria analityczna Marcin: 1) Napisz równanie okręgu oʹ, będącego obrazem okręgu o opisanego równaniem x2 + y2 − 4y − 5 = 0 w symetrii względem początku układu współrzędnych. 2) Napisz równanie okręgu opisanego na kwadracie ABCD, którego przeciwległymi wierzchołkami są punkty A = (1, −3) i C = (3, 5). 3) Wykaż, że okręgi o równaniach (x −1)kwadrat + (y − 3)kwadrat = 1,6 , i (x + 2)kwadrat + (y − 2)kwadrat = 3,6 , są styczne zewnętrznie. 4) Punkty A = (−2, −4) i C = (4, 8) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD. Długość jego przekątnej BD jest równa 4{5} . Wyznacz współrzędne wierzchołków B i D tego rombu. Byłaby możliwość rozwiązania z wytłumaczeniem? Nie najlepiej mi idzie z tego działu pomocy

Marcin: w czwartym jest 4 pod pierwiastkiem z 5

Marcin: ktokolwiek, cokolwiek ?

Marcin: 2)

Marcin: Okrąg ma być opisany, przepraszam. (Ale wiadomo o co chodzi)

Janek191: z.1 x² + y² − 4y − 5 = 0 ( x − 0)² + ( y − 2)² − 4 − 5 = 0 ( x − 0)² + ( y − 2)² = 3² S = ( 0; 2) r = 3 Znajdujemy S' = ( x' ; y' ) x' = − x = 0 y' = − y = − 2 r' = r = 3 więc Odp. ( x − 0)² + ( y + 2)² = 9 ========================

Janek191: z.3 ( x − 1)² + ( y − 3)² = 1,6 więc S₁ = ( 1; 3) oraz r₁ = √1,6 ( x + 2)² + ( y − 2)² = 3,6 więc S₂ = ( − 2; 2) oraz r₂ = √3,6 zatem I S₁ S₂ I² = ( − 2 − 1)² + ( 2 − 3)² = 9 + 1 = 10 czyli I S₁ S₂ I = √10

	4		6
r1 + r2 = √1,6 + √3,6 = √1610 + √3610 =		+		=
	√10		√10

	10
=		= √10
	√10

Mamy I S₁ S₂ I = r₁ + r₂ , więc dane okręgi są styczne zewnętrznie.

Marcin: Janek wielkie dzięki za pomoc, Marcin mógłbys do tego obliczenia zrobić? To co mi narysowałeś sam również narysowałem, albo, który wzór zastosować ? Tak wiem, jestem bardzo w plecy

Janek191: z.4 I B D I = 4 √5 A = ( − 2; − 4) C = ( 4; 8) S − środek odcinka AC

	− 2 + 4		− 4 + 8
xs =		= 1 ys =		= 2
	2		2

S = ( 1; 2) Równanie prostej AC : y = a x + b − 4 = − 2a + b 8 = 4a + b −−−−−−−−−−−−− odejmujemy stronami 8 − (−4) = ( 4a + b ) − ( − 2a + b) 12 = 6a a = 2 −−−−− b = 8 − 4a = 8 − 4*2 = 0 −−−−−−−−−−−−− y = 2 x ====== Prosta BD jest prostopadła do pr AC i przechodzi przez S = ( 1; 2) 2*a₂ = − 1 ⇒ a₂ = − ¹₂ y = − 0,5 x + b₂ 2 = −0,5*1 + b₂ b₂ = 2,5 y = − 0,5 x + 2,5 ============ Punkty B i D leżą na tej prostej, więc B = ( x; y) = ( x; −0,5 x + 2,5) oraz I BS I = I D S I = 0,5*4√5 = 2√5 ⇒ I BS I² = 4*5 = 20 ( 1 − x)² + ( 2 − ( −0,5 x + 2,5))² = 20 1 − 2x + x² + ( 0,5 x − 0,5 )² = 20 1 − 2x + x² + 0,25 x² − 0,5 x + 0,25 = 20 / * 4 4 − 8 x + 4x² + x² − 2x + 1 = 80 5 x² − 10 x − 75 = 0 / : 5 x² − 2x − 15 = 0 Δ = 4 − 4*1*(−15) = 64 √Δ = 8

	2 − 8		2 + 8
x =		= − 3 lub x =		= 5
	2		2

zatem y = −0,5*(−3) + 2,5 = 4 lub y = − 0,5*5 + 2,5 = 0 zatem B = ( 5; 0) i D = ( − 3; 4) =====================

Janek191: z.2 A = ( 1; − 3) C = ( 3; 5) S − środek kwadratu i równocześnie środek okręgu opisanego na kwadracie

	1 + 3		− 3 + 5
xs =		= 2 ys =		= 1
	2		2

S = ( 2; 1) r² = I AS I² = ( 2 − 1)² + ( 1 − (−3))² = 1 + 16 = 17 Równanie okręgu ( x − x_s)² + ( y − y_s)² = r² czyli ( x − 2)² + ( y − 1)² = 17 =====================

Marcin: Dzięki Janek za pomoc w tym wieczorze, wszystkie zadania zrozumiane, jedynie co sprawia ostatnie problemy, ale wszystko z czasem, dzięki jeszcze raz

Marcin: Marcin wybacz że nie dokończyłem obliczeń, ale nie widziałem tego wpisu. Na szczęście Janek dał radę