Uprość wyrażenie Gajwer: ³√5√2+7−³√5√2−7

Eta: (√2+1)³=2√2+3*2+3√2+1=5√2+7 (√2−1)³=......... =5√2−7 W= √2+1−(√2−1)=.........

Wazyl: Można też tak: ³√5√2+7−³√5√2−7=x / ( )³ (5√2+7)−3³√(5√2+7)(5√2−7)x−(5√2−7)=x³ W(x)=x³+3x−14=0 W(x)=(x−2)(x²+2x+2) x²+2x+2=0 Δ<0 ⇒ Jedynym pierwiastkiem wielomianu jest x=2 Oczywiście sposób Ety lepszy! Ale zawsze warto znac 2.

Eta:

ZKS: Najdłuższy sposób ze wszystkich ale pokazuje skąd √2 + 1 = ³√5√2 + 7. Niech x₁ = ³√5√2 + 7 oraz x₂ = −³√5√2 − 7 wtedy x₁ + x₂ = t ∧ x₁x₂ = −1 są to wzory Viete'a dla wielomianu stopnia drugiego i możemy z nich utworzyć równanie kwadratowe. x² − tx − 1 = 0 Δ = t² + 4 √Δ = √t² + 4

	t + √t2 + 4
x1 =
	2

	t − √t2 + 4
x2 =
	2

t + √t2 + 4
	= 3√5√2 + 7 / 3
2

t3 + 3t2√t2 + 4 + 3t3 + 12t + (t2 + 4)√t2 + 4
	= 5√2 + 7
8

Porównujemy części wymierne i otrzymujemy

4t3 + 12t
	= 7
8

t³ + 3t − 14 = 0 (t − 2)(t² + 2t + 7) = 0 ⇒ t = 2 zatem dostaliśmy że ³√5√2 + 7 − ³√5√2 − 7 = 2 ale jak dojść do tego że ³√5√2 + 7 = √2 + 1? Wystarczy do x₁ wstawić za t = 2 i otrzymamy

	t + √t2 + 4		2 + √22 + 4		2 + 2√2
x1 =		=		=		= 1 + √2.
	2		2		2