równanie różniczkowe U{dy}{du} cosx +ysinx = xcosx+u{1}{2}x^{2}sinx Markos:

dy
	cosx +ysinx = xcosx+12x2sinx
du

dy/dx cosx=−ysinx z tego wychodzi y₀ = C₁ cosx y_s = C_(x) cosx y'_s=C'_(x)cosx − C_(x) sinx

	1
C'(x) cos2x=xcosx+		x2sinx
	2

	1   xcosx+ x2sinx   2
C(x)=∫
	cos2x

nie wiem za bardzo jak całkę wyliczyć no chyba że mam błąd wcześniej próbowałem tak

	xcosx		x2sinx
∫		dx +12∫		dx = ...
	cos2		cos2x

	1
pierwsza całka u=xcosx v'=
	cos2x

u'=cosx−xsinx v=tgx

	xsin2x
... = xsinx − (∫sinxdx − ∫		dx)
	cosx

sushi_ gg6397228: zapisz ile wynosi "y" z rozdzielenia zmiennych

Markos: y=C₁ cosx

Markos: lnIyI=lnIcosxI + C , C=lnIC₁I C₁≠0 y=C₁ cosx

Trivial: Jedno spojrzenie na równanie i od razu widać rozwiązanie szczególne.

	dy		1
		cos(x) + ysin(x) = xcos(x) +		x2sin(x)
	dx		2

	1
Jest oczywiste, że ys =		x2 spełnia równanie. Rozwiązanie równania jednorodnego
	2

można szybko policzyć ze wzoru

	dy		sin(x)
		+ y*		= 0
	dx		cos(x)

y_j = Ce^{∫−sin(x)dx/cos(x)} = Ce^ln|cos(x)| = C*cos(x).

	1
Zatem y =		x2 + C*cos(x).
	2

Markos: nie bardzo kumam jak to zrobiłeś , rozumiem że metodą przewidywania y₀=C*cos(x) ok

	1
tylko jak to przewidziałeś że ys=		x2
	2

Trivial: Spojrzałem na równanie i tak się akurat złożyło, że rozwiązanie było trywialne. Porównaj to co

	1		dy
jest przy sinusie. y =		x2. Akurat zachodzi		= x i mamy zgodność. Żeby
	2		dx

rozwiązać to inaczej trzeba uzmiennić stałą, a to zawsze dużo roboty. Lepiej zgadywać.

Trivial:

	1
A Twoja całka wygląda OK. Jakieś części i może by poszła. Różniczkuj x (albo		x2).
	2

Całkuj resztę.

Trivial: Proszę bardzo, potwierdzenie. http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28x%29*integral+%28x%2Fcosx+%2B+%281%2F2%29x^2*sinx%2Fcos^2x%29+dx Wynik wychodzi taki sam jak mój.

Markos: teraz już wiem skąd to wytrzasnąłeś tylko jak to zapisać żeby pkt naliczył bo mam niestety upierdliwego wykładowce, no i u mnie na ćwiczeniach było że aby przewidywać przy y musi być stała , a nie zmienna dlatego od razu odrzuciłem tą metodę a tutaj to że

	1
y=		x2
	2

jest wyczytane z równania , więc jak to zapisać aby były wszystkie pkt ?

Trivial: Tutaj raczej nic magicznego nie da się przewidywać. Pozostaje uzmiennienie stałej i żmudne całki. Ja bym dał po prostu komentarz o trywialności rozwiązania i liczył na maksa.

Markos: i tak bym zrobił bo czas się liczy ,ale tylko na kolokwium bo mam później możliwość pogadania z prof. wielkie dzięki Trivial

Markos: Trivial no nie mogę stary miałem to na kolosie może masz jakąś podpowiedź jak argumentować to żeby nie uwalił mi pkt napisałem tak dx/dy=x y=1/2x² i że to można wyczytać z równania

Trivial: Zgadywanie w ogóle trudno uzasadnić. Jak się spyta dlaczego akurat taka funkcja, to odpowiedz, że zauważyłeś rozwiązanie z postaci równania i łatwo sprawdzić, że jest poprawne. Z kolei całka z metody uzmienniana stałej wyszłaby dość czasochłonna i nie chciałeś tracić czasu na jej obliczanie. Ewentualnie możesz się przygotować do rozwiązania tej całki. Nie wiem co w tej sprawie można jeszcze zrobić.

Trivial: Jeszcze możesz się argumentować tym, że aby napisać rozwiązanie ogólne wystarczy znać jedno rozwiązanie szczególne, które nie jest postaci Acos(x). Oczywiście ¹₂x² nie jest tej postaci. Zgadłeś jedno i to wystarcza.