całeczka Joanna : Mam pytanie jak obliczyć taką całkę ? ∫³_cosx dx

kyrtap : chyba sesja się zbliża

Joanna : oj niestety na razie przed sesją jeszcze kolokwium z całek i szeregów To jest całka trygonometryczna? Ja zaczęłam przez podstawianie uniwersalne

Joanna : Doszłam do momentu że ∫¹_1−t² dt

Joanna : podstawienie : t=tg ^x₂ cosx=^1−t2_1+t² i za dx = ^2dt_1+t²

Joanna : I właśnie po podstawieniu doszłam do momentu że ∫ ¹_1−t² i teraz co? jakiś wzorek jest może na to czy cuś?

Mila: cosx≠0

	dt
[sinx=t, cosx dx=dt, dx=		]
	cosx

	3		A		B
∫		dt=∫		dt+∫		dt)=....
	1−t2		t−1		t+1

Ułamki proste:

−3		A*(t+1)+B(t−1)
	=		dt
t2−1		t−1)*(t+1)

−3=At+A+Bt−B −3=t*(A+B)+(A−B) A+B=0 i A−B=−3 A=−B i −B−B=−3

	3
B=
	2

	3
A=−
	2

cd całki

	3		3		1		3		1
∫		dt=−		∫		dt +		∫		dt=
	1−t2		2		t−1		2		t+1

	3		3
=−		ln|t−1|+		ln|t+1|=
	2		2

	3		t+1		3		sinx+1
=		ln|		|=		ln|		|+C
	2		t−1		2		sinx−1

Joanna : a moją metodą źle?

Mila: Dobrze, ale dalej trzeba rozpisać na ułamki proste.

	x
Ja stosuję inną metodę, bo nie chce mi się zaglądać do wzorów przy podstawieniu tg		=t
	2

Joanna : Ok

Joanna : Czyli jak ustałam na momencie po podstawieniu uniwersalnym na etapie 6∫ ¹_1−t² dt to teraz jak?

Joanna : to teraz że ∫¹_1−t² dt to 1−t 1 + t a na górze A i B

Joanna : nie rozumiem czemu rozpisac na ulamki proste nie mozna po prostu tozbic 1−t² = (1−t)(1+t) ?

Mila: zgubiłaś trójkę, Lepiej będzie gdy zapiszesz

	−3
∫		dt
	t2−1

To Ci rozpisałam 12:39

Joanna : najpierw wyrzuciłam trójkę przed całkę a potem dwójkę z tego wyszło sześć przed całkaą nie ogarniam

Mila: To licz z tą szóstką, potem obliczymy pochodną wyniku dla sprawdzenia. Całki mogą się różnić stałą. Też liczę teraz z Twoim podstawieniem.

Joanna : Ok super dziękuje. Ja sie właśnie zatrzymałam na momencie 6∫¹_1−t²

Mila: Rozpisz to na ułamki proste.

Joanna : nie wiem jak

Joanna : a tam jest wgl 1−t² a nie t² −1 ... Mam tak dosc tej matmy na studiach ze szok na nic innego czasu nie ma tylko sie matmy uczyc

Joanna : dobra ogarnelam chyba

Mila: Popatrz do notatek albo przeanalizuj przykład z 12:39, Czytaj Krysickiego.

	6		−6		−6
∫		dt=∫		dt=∫		dt=
	1−t2		t2−1		(t−1)*(t+1)

	A		B
=∫		dt +∫		dt =....
	t−1		t+1

⇔

−6		A		B
	=		+		= prawą stronę do wspólnego mianownika
(t−1)*(t+1)		t−1		t+1

A*(t+1)+B*(t−1)		A*t+A+B*t−B
	=		grupujemy w liczniku wg
(t−1)*(t+1)		(t−1)*(t+1)

zmiennej t , porównujemy liczniki −6=t*(A+B)+A−B A+B=0 i A−B=−6 A=−B, −B−B=−6 B=3 i A=−3 To liczymy całki:

	−3		3
∫		dt +∫		dt =... licz teraz sama.
	t−1		t+1

Joanna : ale to podstawianie podstawiania juz wychodzi jakies dziwne rzeczy

Joanna : dobra ja już nie ogarniam nic pierdziele to kolokwium już nie mam siły na tą matmę ciągle przez to gówno ryczeć nie mam siły obejrzałam całego etrapeza i zrobiłam wszystkie zadania i tyle cxzasu na marne

Joanna : wszytsko wyszło mi na opak

Mila: Wychodzi dobrze i to samo co u mnie.

	t+1		x   tg +1   2
=3ln|		|=3ln|		| +C możesz tak zostawić.
	t−1		x   tg −1   2

	x		x   sin   2
Pobaw się trygonometrią, podstaw tg		=		i doprowadź do prostszej
	2		x   cos   2

postaci, dobrze Ci zrobi, utrwali wiadomości.

Joanna : Dzięki ale już się poddałam

Mila: Nie wolno się poddawać, w życiu czekają Cię różne niespodzianki i trzeba się z nimi zmierzyc.

Joanna : Ale to ja wiem ile czasu poświęcałam na matematyke ja już życia nie mam swojego poza studiami... i boli mnie to że tyle czasu na to poświęciłam i dalej nie umiem. Nie mam siły już. Mamy strasznie ciężki poziom matmy bardzo dużo wymagają a kompletnie nic nie tłumaczą..

Mila: Jeśli pomylisz współczynniki, to na pewno coś Ci zaliczą. Na jakim kierunku?

Joanna : Zarządzanie inżynierskie na politechnice gdańskiej mamy cięższą matmę niż na innych wydziałąch jak chemiczny, mechaniczny itd więc to jest strasznie dziwne

Mila: No cóż, całkami nie będziesz rzucać na budowie, ale trzeba to przejśc. Na pewno dasz radę, idź na spacer, a potem znowu pracuj.

fx: Dokładnie jak pisze Mila . Nie poddawaj się, matematyka to tylko narzędzie w rękach inżyniera, jedno z wielu. To, że nie udało się Tobie wyznaczyć niezbyt oczywistej całki − to nie powód aby się załamywać. Matematyka na inżynierskich kierunkach (ale sama w sobie też) to bardzo dużo schematów, trików i metod, które trzeba poznać aby płynnie radzić sobie z problemami. Nie wszystkie poznasz od razu, nie wszystkie zrozumiesz − każdy tak ma . Ja niektóre zagadnienia i matody matematyczne zrozumiałem po kilkunastu miesiącach od pierwszego spotkania z nimi. Wytrwałość, cecha kluczowa dla studenta.