wykaż, że liczba jest podzielna przez 5. sałata: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k²+1) jest podzielna przez 5.

sałata: Bardzo proszę o pomoc

PW: Jeżeli k = 5p lub k+1 = 5p lub k+9 = 5p, to nie ma czego dowodzić. Drugi warunek można zapisać w postaci k= 5p−1, a trzeci w postaci k=5q − .4. Pozostaje więc sprawdzenie dla k = 5p −2 oraz dla k = 5p − 3. Łatwo pokazać, że dla takich k liczba (k²+1) jest podzielna przez 5.

diana7: Na początek zauważmy, że liczba k(k+1)(k+4)(k+2)(k+3) jest podzielna przez 5 (ponieważ jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, z których dokładnie 1 jest podzielna przez 5). Liczby 5k(k+1)(k²+1) i (5k+5)k(k+1)(k+4) są podzielne przez 5 zatem przez 5 podzielna jest liczba k(k+1)(k+4)(k+2)(k+3)−(5k+5)k(k+1)(k+4)+5k(k+1)(k²+1)= =k(k+1)(k+4)(k²+5k+6)−(5k+5)k(k+1)(k+4)+5k(k+1)(k²+1)= =k(k+1)(k+4)(k²+5k+6−5k−5)+5k(k+1)(k²+1)= =k(k+1)(k+4)(k²+1)+5k(k+1)(k²+1)= =k(k+1)(k+4+5)(k²+1)=k(k+1)(k+9)(k²+1), c.k.d

PW: Malejemy do szeptu.

Eta: k(k+1)*[(k²−4)+5]*[(k−1)+10]=k(k+1)[(k−2)(k+2)+5]*[(k−1)+10]= = (k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)*[10k(k+1)(k+2)+5k(k+1)(k−1)+50k(k+1)] = 5t+5s , t,s∊C

PW: Eta, i Ty też chcesz dobić biednego ucznia zielonego jak sałata?

PW: Moi uczniowie pytali w tym momencie: − A skąd ja miałbym niby być taki mądry? Popadałem w zasępienie i zwątpienie w sens pracy.

Mila: III) Iloczyn: J= k(k+1)(k+9)(k²+1) Kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 5 daje resztę: 0, 1 lub 4. 1) jeżeli k jest taką liczbą , której kwadrat dzieli się przez 5 (reszta 0) to ⇔k jest podzielne przez 5 i iloczyn J jest podzielny przez 5 2) jeżeli k jest taką liczbą , której kwadrat dzieli się przez 5 z resztą 4 to czynnik k²+1 dzieli się przez 5⇔iloczyn J dzieli się przez 5 3)jeżeli k jest taka liczbą , której kwadrat dzieli się przez 5 z resztą 1 to czynnik [(k+1)*(k+9)=k²+10k+9=5*2k+(k²+9)] jest podzielny przez 5⇔iloczyn J dzieli się przez 5 cnw

PW: No, jak tam, sałata?

Eta: