całka Joanna : Jaką metodą najlepiej zrobić tą całkę ? ∫ ¹_sinx dx

Joanna : Mógłby mi ktoś pomóc ? Chociaż jakiś wstęp?

Janek191: sin x ≠ 0 sin x = 2 sin 0,5x cos 0,5 x więc

	dx		dx		dx
∫		= ∫		= ∫		=
	sin x		2 sin 0,5 x cos 0,5 x		2 tg 0,5 x*cos2 0,5 x

u = tg 0,5x

	dx
du =
	2 cos2 0,5x

Mamy

	dx		du
∫		= ∫		= ln I u I + C
	sin x		u

czyli

	dx
∫		= ln I tg 0,5 x I + C
	sin x

Janek191: Jest też gotowy wzór :

	dx		1
∫		=		ln I tg 0,5 ax I + C
	sin ax		a

W podanym przykładzie a = 1

Mila: Inaczej:

	−dt
[cosx=t, −sinx dx=dt, dx=		]
	sinx

Mamy wtedy całkę:

	−dt		1
∫		=∫		dt=
	1−t2		t2−1

	A		B
=∫		dt+∫		dt= i teraz ułamki proste
	t−1		t+1

1		A*(t+1)+B*(t−1)		1		1
	=		⇔A=		, B=−
t2−1		(t−1)*(t+1)		2		2

cd.

	1		1		1		1		1		t−1
=		∫		dt−		∫		dt=		ln|		|=
	2		t−1		2		t+1		2		t+1

	1		cosx−1
=		ln|		|+C
	2		cosx+1

PW: A teraz zagadka dla Joanny − czy wzór podany przez Janka191 daje to samo, co wyliczenia Mili?

Mario: to samo,ale nie wiem jak pokazac))

	1
Skad wzielismy,ze A=		i B =...
	2

Mila: Mario, nie umiesz ułamków prostych? 1=A*(t+1)+B*(t−1) ⇔ 1=At+A+Bt−B grupuję wyrazy po prawej 1=(A+B)*t +(A−B) ponieważ po lewj nie ma wyrazu ze zmienną t to A+B=0 i A−B=1

	−1		1
A=−B, −B−B=1⇔B=		i A=
	2		2

Mario: umiem,czasami jestem nie uwazny) Dziekuje!

Mila: