?? !! k: Czy ktoś jednak ma jakiś pomysł na to zadanie Dla jakich wartości parametru m jeden z pierwiastków równania (m−4)x2+3mx+m−4=0 jest mniejszy od 1, a drugi jest większy od 3? Czy wtedy suma pierwiastków jest równa 2? Czy prawdą jest, że m>0, a czy m<4?

razor: 2 przykłady takich funkcji, gdzie jeden z pierwiastków jest mniejszy od 1, a drugi większy od 3. Zastanów się jakie trzeba w takich sytuacjach postawić warunki

k: a jak jeden pierwiastek będzie równy np 0 a drugi 20 to wierzchołek już nie będzie w tym przedziale.

k: Zrobiłam trzy warunki 1. m−4różne od 0 2. delta >0 3. f(1)*f(3)>0 i dałam odpowiedź trzy razy nie, ale jako odpowiedz dostałam od prowadzącego, że trzeci warunek też jest spełniony gdy oba pierwiastki są mniejsze od 1 (czyli mam go wykluczyć tak?)

Piotr 10: Te 3 warunki są chyba ok jak na razie. Teraz pasowałoby z wierzcholkiem paraboli cos zadziałać

k: tylko wlasnie nie mam pomysłu jak ruszyć ten wierzchołek, bo jak rozpatruje różne przypadki to ich suma daje mi R czyli lipa.

razor: Ja bym to rozbił na 2 przypadki, kiedy m − 4 > 0 lub m − 4 < 0 i stąd coś działał

k: Rozbiłam, nie ma znaczenia bo to jakby "symetryczne warunki", nie wychodzi

Piotr 10: Przydałoby się, żeby jakiś ekspert się wypowiedział . Ja na razie kombinuję

Piotr 10: Zaraz zerknę do notatek swoich z Pazdro

razor: dla m−4 > 0 masz f(1) < 0 i f(3) < 0 a dla m−4 < 0: f(1) > 0 i f(3) > 0

razor: Żaden ze mnie ekspert ale wydaje mi się że te warunki + Δ wystarczą

Piotr 10: 1⁰ m−4≠0 2⁰ Δ > 0 3⁰ (m−4)*f(1) < 0 4⁰ (m−4)*f(3) < 0 I tyle chyba

Piotr 10: razor też tak myślę

k: f(1) < 0 i f(3) < 0 a dla m−4 < 0: f(1) > 0 i f(3) > 0 te warunki to dokładnie f(1)*f(3)>0 bo oba jednocześńie są tego samego znaku

k: 3) (m−4)*f(1) < 0 4) (m−4)*f(3) < 0 A skąd to?

Piotr 10: To jest po prostu uproszczony warunek razora . Gdy m−4 > 0 to f(1) < 0 , więc... gdy m−4 < 0 to f(1) > 0 więc..

k: To się tym bardziej nie zgadza gdy m−4<0 to f(1)<0

Piotr 10: Jeszcze raz sobie narysuj ten wykresik

razor: mówisz?

k: Sprawdziłam, te dwa Wasze warunki 3) (m−4)*f(1) < 0 4) (m−4)*f(3) < 0 (oczywiście z przeciwnymi znakami) sumują się do mojego z mnożeniem) czyli albo on jest zbędny (w co wątpię) albo czegoś jeszcze brakuje

PW: A gdyby dodać jeszcze warunek |x2 − x₁| > 3 − 1? Dla funkcji f(x) = ax²+bx+c byłoby to

	−b + √Δ		−b − √Δ
|		−		| > 2
	2a		2a

	√Δ
|		| > 2
	a

Nie chcę za bardzo się wczuwać, bo to zadanie konkursowe.

k: Konkursowe w sensie na 5 Tylko nauczyciel to wykładowca uniwersytecki, stąd taki poziom

Mariusz95: a>0∧f(1)<0∧f(3)<0 ⋁a<0∧f(1)>0∧f(3)>0

	40
m∊(		,4)
	19

k: a>0∧f(1)<0∧f(3)<0 ale to jest nieprawda. Jak ramiona idą do góry to f(1) i f(3) są dodatnie

k: |x2 − x1| > 3 − 1 też się nie zgadza np dla pierwiastków 5 i −5

ZKS: No nieprawda. Wcześniej Ci przecież podali warunki więc nimi się sugeruj.

ZKS: Mój post tyczył się do postu Mariusz95.

PW: Na litość Pana, 5 − (−5) = 10, a nie 0

ZKS: PW tak to jest jak jednym okiem czyta.

PW: Zaproponują może pewne uproszczenie.

	3m
f(x) = (m−4)(x2 +		+ 1), m−4≠0
	m−4

ma takie same miejsca zerowe jak

	3m
g(x) = x2 + bx +1, b=		.
	m−4

Czy dla funkcji g łatwiej opowiedzieć o warunku zadania?

k: No z tymi piątkami przegięłam Myślałam o sumie

PW: Myślę, że "po chamsku ale skutecznie": Δ=b²−4 > 0, obliczyć dla funkcji g oba pierwiastki x₁ i x₂,

	−b−√b2−4		−b+√b2−4
x1 =		i x2 =
	2		2

i rozwiązać układ nierówności x₁ <1 i x₂ > 3.

k: Kuźwa, no nic nie widzę dla tej g(x) innego niż dla f

k: patrzyłam, ale to masakra jakaś, nierówność i jeszcze z pierwiastkiem, kupa przypadków

PW: A ja widzę coś innego − funkcja g ma "wesołą parabolę", więc wystarczy założyć Δ>0 i g(1) <0 i g(3) <0 − to co sprawiało kłopoty na początku z powodu "wesoła − smutna", teraz jest oczywiste. Może więc te trzy nierówności, najpierw "w języku b", a potem sobie przypomnieć co to jest b.

Mariusz95: Może rozwine moje rozwiązanie gdyż macie część racji Ip a>0∧f(1)<0∧f(3)<0 m−4>0 m>4 f(1)= m−4+3m+m−4 5m−8<0

	8
m<
	5

f(3)=9m−36+9m+m−4 19m−40<0

	40
m<
	9

I w tym przypadku suma przedziałow to zbiór pusty czyli dla a>0 nie ma takich rozwiąń IIp a<0∧f(1)>0∧f(3)>0 m−4<0 m<4 f(1)=5m−8 5m−8>0

	8
m>
	5

f(3)=19m−40 19m−40>0

	40
m>
	19

	40
sumując m∊(		;4)
	9

sprawdziłem w WolframAlpha kilka przykladowych m z tego zbioru i zgadzają sie z warunkami zadania

Mariusz95:

	40
w odpowiedzi ma byc m∊(		;4)
	19

ZKS: Mariusz95 przecież Piotr10 podał warunki masz identyczne tylko że ona załatwiał od razu współczynnik przy najwyższej potędze a Ty rozbijałeś.

k: PW Po części masz rację, tylko tak mi teraz do głowy przyszło, machnij sobie dowolną parabole o dwóch miejscach zerowych z ramionami do góry, żeby tylko 1 ani 3 nie było pierwiastkami. Zawsze spełniony jest warunek f(1)>0 i f(3)>0 nawet jeśli oba pierwiastki są mniejsze od 1 albo abo większe od 3. Jedyny moment kiedy to się psuje, to jak jeden pierwiastek będzie między 1 a 3 a drugi poza. Czy coś trzeba dołożyć, żeby odrzucić przypadek kiedy oba pierwiastki leżą za 3 albo oba przed 1.

k: Mariusz 95 No jak ramiona lecą do góry czyli a>0 to obie wartości od argumentu 1 i 3 są też dodatnie. No nie da się inaczej.

k: nie sorry, ja z innego w ogóle, do czapy już gadam. tylko mnie tam inny wynik wyszedł

PW: Dla funkcji g Δ = b²−4 , Δ > 0 ⇔b < − 2 ∨ b > 2 g(1) = 1² + b•1 + 1 = b+2, g(1) < 0 ⇔ b< −2

	10
g(3) = 32 + b•3 + 1 = 3b + 10, g(3) < 0 ⇔b < −		.
	3

Wszystkie trzy nierówności prawdziwe dla

	10
b < −		,
	3

to znaczy gdy

	3m		10
		< −
	m−4		3

	3m		10
		+		< 0
	m−4		3

	9m + 10m −40
		< 0
	m−4

	19m − 40
		< 0
	m − 4

	40
m∊(		, 4).
	19

Sposób z funkcją g jest o tyle lepszy, że nie ma "rozpatrywania przypadków". No i w ten sposób dostaniesz, kuźwa, piątkę. Wystarczy zasiać wątpliwości, chętni się znajdą.

k: Mi po zmontowaniu tych warunków w iloczyn f(1)*f(3)>0 (−∞, ⁸ ₅)∪(⁴⁰₁₉,∞) ale po złożeniu warunków z deltą wyszedł też gdzie taki jak tobie, także to chyba nie ma znaczenia, tylko jeszcze czegoś brakuje. Oczywiście ten mój rysunek wyżej, to zignorować

k: Ale ten mój profesorek już mi powiedział, że z tym warunkiem nie do końca jest ok, bo jak oba pierwiastki będą mniejsze od 1 albo oba większe od 3 to też zachodzi, a nie spełnia warunków zadania.

k: b< −2 a to czemu nieprawdziwe, jak się pokrywa z założeniami delty

PW: Nie "montuj w iloczyn", bo wtedy obie liczby są dodatnie, albo obie ujemne, a tu − przy "wesołej" paraboli dla funkcji g − musi być g(1) < 0 i g(3) < 0 (obie liczby 1 i 3 muszą leżeć między miejscami zerowymi).

k: dobra kumam, to jednak z tego f(1)*f(3)>0 wychodzi szerszy przedział

PW: Ja Ci dam "profesorek".

k: no właśnie obie są dodtanie albo obie ujemne czyli ich iloczyn zawsze dodatni, czyli też upraszcza mi przypadki, tylko się zastanaiwam skąd rozbieżność w rozwiązaniu

k: Sorry Pani Profesor

k: Dobra, a czy dla funkcji g nie trzeba będzie rozpatrzyć jeszcze drugiej wersji smutnej, w końcu przed całą funkcją g stoi parametr , który raz jest dodatni, a raz ujemny

PW: Jeżeli rozumiesz wnioskowanie z 22:15 (najlepiej narysować "wesołą" parabolę, której miejsca zerowe x₁ i x₂ leżą poza przedziałem [1, 3], jedno z lewej, drugie z prawej), to już tylko sprawdzić rachunki z 22:37.

PW: A rozumiesz uwagę z 21:31? To jest najważniejsze w całym zadaniu − trudną do rozpatrywania funkcję zastępujemy łatwiejszą o tych samych miejscach zerowych (przecież wyłączenie (x−4) przed nawias nie zmienia miejsc zerowych).

k: Dobra to rozumiem. Natomiast to nie zmienia faktu, że jeśli oba pierwiastki będą mniejsze od 1 albo oba większe od 3 to też zachodzi ten sam warunek b<−¹⁰₃, a nie są spełnione warunki zadania.

PW: Nie, dla wesołej paraboli będzie wtedy g(1) > 0 i g(3) > 0, narysuj sobie.

k: Podsumowując trzy pytania w zadaniu będzie nie, nie i nie. Czy do pierwszego pytania o sume wystarczy ze wzorow vietea znaleźć m i napisac od nie bo wyszło konkretne m, a nie rzeczywiste?

PW:

	−3m
Pytanie o sumę jest banalne. Jeżeli pierwiastki istnieją, to x1+x2 =		(wzory
	m−4

Viete'a), a więc musiałoby być

	−3m
		= 2,
	m−4

czyli −3m = 2m − 8

	8
m =		.
	5

	40
Liczba ta nie należy do przedziału (		, 4), odpowiedź więc brzmi: nie.
	19

pigor: ..., dla jakich wartości parametru m jeden z pierwiastków równania (m−4)x²+3mx+m−4=0 jest mniejszy od 1, a drugi jest większy od 3? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Δ>0 i af(1)<0 i af(3)<0 i 1<x_w<3 ⇔ 9m²−4(m−4)²>0 i i (m−4)(m−4+3m+m−4)<0 i (m−4)[9(m−4)+9m+m−4]<0 i 1< −^3m_m−4<3 /*(m−4)² ⇔ ⇔ [(3m−2(m−4)] [3m+2(m−4)]>0 i (m−4)(5m−8)<0 i (m−4)(19m−40)<0 i i (m−4)²<−3m(m−4)<3(m−4)² ⇔ (m+8)(5m−8)>0 i (m−4)(m−⁸₅)<0 i i (m−4)(m−⁴⁰₁₉)<0 i m²−8m+16+3m²−12m<0 i m²−8m+16+m²−4m>0 ⇔ ⇔ (m<−8 v m>⁸₅) i ⁸₅<m<4 i ⁴⁰₁₉<m<4 i 4m²−20m+16<0 i i 2m²−12m+16 >0 ⇔ ⁴⁰₁₉< m< 4 i m²−5m+4< 0 i m²−6m+8 >0 ⇔ ⇔ ⁴⁰₁₉<m<4 i 1<m<4 i 2<m<4 ⇔ ⁴⁰₁₉ <m< 4 ⇔ m∊( ⁴⁰₁₉ ;4).

k: A gdyby należała to byłoby tak? Bo ja to pytanie rozumiem czy suma jest równa 2 (czyli zawsze niezależnie od m), a nie dla jakiego m jest równa 2. Ja dałam odpowiedź, nie bo suma jest równa 2 dla konkretnego m, a nie dla każdego, pozatym to konkretne m nie należy do dziedziny.

razor: pigor x_w nie musi być wcale z przedziału <1,3>

Piotr 10: x₁ < 1 x₂ > 3 1 − x₁ > 0 x₂ − 3 > 0 Dodając stronami, otrzymujemy: 1 − x₁+ x₂ − 3 > 0 x₂ − x₁ > 2 ( obie strony dodatnie) (x₂ − x₁)² > 2² x₂² + x₁² − 2x₁x₂ > 4 (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ > 4 (m−4)x²+3mx+m−4=0

	3m		m−4
(		)2 − 4		> 4
	m−4		m−4

Z założenia wiemy, iż m−4≠0

9m2
	− 4 > 4
m2−8m+16

9m2
	> 8
m2−8m+16

9m2
	> 8
(m−4)2

9m² > 8(m−4)² 9m² > 8m² −64m + 128 m² + 64 m − 128 > 0 Δ_m=4096 + 512=4608 ...... Δ > 0 (m−4)x²+3mx+m−4=0 Δ= 9m² − 4(m−4)²=9m² − 4m² +32m − 64 = 5m²+32m − 64 > 0 Δ_m = 1024 + 1280=2304 √Δ_m=48 m₁= − 8 ; m₂= 1,6 Można w tą stronę ? Fajnie, było jakby ktoś spojrzał

Gośka: No ja spojrzałam, nieco innym tropem poszłam Czyli zauważmy, że x1*x2=1 czyli jeśli jeden pierwiastek jest większy od 3 to drugi musi być dodatni i jeszcze z przedziału (0,1) ponadto x2=¹_x1 Załóżmy, że suma jest równa 2. to wtedy mamy x1+x2=x1+¹_x1=^x12+1_x1=2 przekształcając mamy x1²−2x1+1=0 czyli (x1−1)²=0, x1=1 co jest sprzeczne z założeniami zadania PS. Jak Wam się takie ładne ułamki robią?

ZKS: Nie rozumiem po co taki wywód. Jeżeli jeden pierwiastek jest większy od 3 a drugi należy do przedziału (0 ; 1) to jak ich suma może być równa 2? Obydwa pierwiastki są dodatnie więc nie ma sensu czegoś takiego rozpatrywać. Jedynie taka równość mogła by nam zajść kiedy drugi pierwiastek ten mniejszy od 1 jest ujemny ale ze wzorów Viete'a mamy x₁x₂ = 1 zatem sprzeczność.

pigor: ..., razor zgoda, ale wolałem się ... zabezpieczyć...

Gośka: Żeby dać "namacalny" dowód sprzeczności

PW: A mówią, że zadania z funkcją kwadratową są takie łatwiutkie. Ciekawe, czy k dostała piątkę.

k: Jeszcze nie sprawdzone, pewnie czeka aż każdy odda Ale dzięki, miło było. A jak macie chwilke to dostałam też takie. Uzasadnij, niekorzystajac z kalkulatura, która liczba jest wieksza 9¹⁰ czy 10⁹.

PW: To proste,

109		(9+1)9		1		1		1
	=		•		= [(1+		)3]3•		=
910		99		9		9		9

	1		1		1		1
(1+3•		+3•		+		)3•		<
	9		81		93		9

	1		1		1		1		1		8
(1+		+		+		)3•		= 23•		=		< 1.
	3		3		3		9		9		9

k: Kochani, dziękuję za zaangażowanie. Niestety z zadania dostałam 3+ z komentarzem, że odpowiedź Nie na punkty m>0 i m<4 jest błędna. I zglupialam bo nie rozumiem dlaczego.

Gośka: PW, razor − widzieliście? 3+

Mysza: Ale jak to?

PW: Pytanie postawione przez k brzmiało: Czy prawdą jest, że m>0, a czy m<4? Dziwnie sformułowane pytanie, w ogóle się nad tym nie zastanawialiśmy i nie wiemy co napisała k w swoim rozwiązaniu. Jeżeli nauczyciel jest wykładowcą uniwersyteckim, to pewnie miał na myśli dwa osobne pytania: 1. czy jest prawdą, że m > 0, 2. czy jest prawdą, że m < 4. Każda z tych odpowiedzi brana z osobna jest błędna, niestety. Osobiście uważam, że takich niuansów logicznych z dziećmi nie wolno uprawiać, a przede wszystkim trzeba jasno sformułować pytanie. Spójnik "a czy" nie ma zdefiniowanego sensu matematycznego W dodatku teraz − godz. 13:21 − k pisze o odpowiedzi na pytanie m>0 i m<4. Tak to każdego można skołować.

k: Ja napisałam, ze kazda osobno jest błędna. Natomiast poprawna odpowiedź to tak dla m>0 i tak dla m<4,

k: Kurcze, zdenerwowana bylam oceną i chcialam szybko wam naisac. Na pytanie Czy prawdą jest, ze m>0 odpowiedzialam NIE, a poprawna odpowiedź to tak. Na pytanie czy prawdą jest, ze m<4 odpowiedzialam NIE, a poprawna odpowiedź to tak. I stąd 3+, a ja nawet nie wiem czemu.

PW: Napisałaś dobrze. m > 0 to odpowiedź błędna. Do zbioru liczb określonych nierównością m > 0 , czyli do przedziału (0, ∞) należą też np. liczby 1 i 50, a więc odpowiedź m>0 jest "zbyt szeroka" − możesz z p. doktorem podyskutować. Ja się zastanawiam − czy stawianie takich pytań to nie jest złośliwość − skoro uczeń podaje

	40
odpowiedź m∊(		, 4), to po co go jeszcze dopytywać, czy m>0 i czy m<4? Chyba po to,
	19

żeby − cokolwiek nie odpowie − powiedzieć że odpowiedź jest zła.

Mila: Dziwne ocenianie. Jest zasada punktowania kolejnych etapów rozwiązania,. Chyba zbyt dużo punktów pani przydzieliła za tę część zadania.

k: No ja tak samo rozumiem jak Ty, dlatego już zwatpilam czy ja jakaś głupia jestem. Ocena zapisana, srednia wyciagnieta, ale spróbuje podyskutować, może chociaż mi wyjaśni swój punkt widzenia.

Mila: Jeśli to było zadanie domowe, to przy ocenie końcowej i tak mniejsza waga jest przykładana, bo chyba macie średnią ważoną. Najważniejsza jest średnia ze sprawdzianów.

k: Byłam i spytałam. Otrzymałam odpowiedź:

	40
"Poprawnym rozwiązaniem zadania jest m∊(		; 4) w zwiążku z tym dla każdego m należącego
	19

do rozwiązania spełniony jest warunek, że m>0 ponieważ każda liczba z przedziału

	40
(		; 4) jest dodatnia. Analogicznie dla drugiego pytania, dla każdego m należącego do
	19

	40
rozwiązania spełniony jest warunek, że m<4 ponieważ każda liczba z przedziału (		; 4)
	19

jest od 4 mniejsza" Szczena mi opadła i mało się nie rozpłakałam, ale postanowiłam wyjaśnić swój punkt widzenia, że na pytanie Czy prawdą jest, ze m>0? odpowiedziałam NIE, ponieważ istnieje taka liczba dodatnia m np równa 7, która nie spełnia warunków zadania. Jako komentarz zwrotny usłyszałam, że nie rozumiem polecenia i zadanego pytania, bo przecież

	40
pytanie zawsze dotyczy wyniku, a nasz wynik czyli przedział (		; 4) jest dodatni i
	19

mniejszy od zera, wprowadzając jakąś siódemkę, dokonuje dodatkowych założeń, które są niepotrzebne, a ponadto błędne i prowadzą do błędnej odpowiedzi.

k: * przed ostatnia linijka − miało być mniejszy od 4 oczywiście

PW:

	40
Jeżeli ktoś na poważnie zadaje pytanie, czy liczby z przedziału (		,4) są dodatnie
	19

i czy są mniejsze od 4, to powinien uczyć w szkole specjalnej. O ile sensowne było pytanie "czy wtedy suma pierwiastków jest równa 2" (bo odpowiedź wymaga zastanowienia), to co miało znaczyć pytanie "czy prawdą jest, że m>0? Miałaś pełne prawo rozumieć pytanie "czy prawdą jest, że m>0" jako pytanie "czy prawdą jest, że wtedy wszystkie m>0 spełniają warunki zadania" − przez analogię do poprzedniego pytania − i odpowiedzieć NIE. Moim zdaniem to jest chore − zadać idiotyczne pytanie, które w ogóle nie powinno paść − i za niezrozumienie intencji obniżyć stopień tak znacząco. Wasz nauczyciel traktuje was jak idiotów? Żeby nie było wątpliwości − nie jestem uczniem, który właśnie oblał maturę i nienawidzi nauczycieli.

k: Takie właśnie pisze nam zadania, na studiach tak samo, mam znajomą, dwa przedmioty z nią i dwie tróje z testu wielokrotnego wyboru (zbliżone typy odpowiedzi). Nie wiem czego ma to nauczyć, bo mnie jedynie uczy frustracji