Indukcja jakubs: Wykazać, że:

	n3		n2		n		n(n+1)(2n+1)
12+22+...+n2=		+		+		=
	3		2		6		6

1⁰ L=1 P=1 2⁰ Zakładam, że:

	k3		k2		k		k(k+1)(2k+1)
12+22+...+k2=		+		+		=
	3		2		6		6

3⁰

	(k+1)3		(k+1)2		k+1
12+22+...+k2+(k+1)2=		+		+
	3		2		6

	k3		k2		k
L=		+		+		+(k+1)2
	3		2		6

	2k3+3k2+k+6k2+12k+6
=
	6

	2k3+9k2+13k+6
=
	6

Licznik zamieniam na (k+1)(2k²+7k+6) (k+1)(k+2)(k+³₂)

	(k+1)(k+2)(k+32)
Podstawiam dalej L=
	6

	(k+1)3		(k+1)2		k+1
P=		+		+
	3		2		6

	(k+1)(k+2)(k+32)
=
	6

L=P Jest ok ?

Trivial: Ach te dowody indukcyjne. Jeżeli nie pomyliłeś się w rachunkach to jest OK. Mimo wszystko, takie sumy prościej policzyć rachunkiem sum skończonych, albo metodą zaburzania. Nie trzeba wtedy wyroczni żeby odgadnąć postać wzoru. O tak: ∑_k=1..n k² = ∑_k=1..n [k(k−1) + k] = [¹₃k(k−1)(k−2) + ¹₂k(k−1)]_k=1^k=n+1 = ¹₆[k(k−1)(2k−4 + 3)]_k=1^k=n+1 = ¹₆n(n+1)(2n+1). Uwaga: koniec dowodu.

jakubs: Trivial póki co symbol ∑ nie jest mi znajomy Domyślam się, że to chodzi o szeregi tak ?

Trivial: A jednak się pomyliłeś. (k+1)(2k² + 7k + 6) na pewno nie jest równe (k+1)(k+2)(k+³₂), bo nie zgadza się liczba przy najwyższej potędze. Brakuje dwójki. Wtedy chyba jest ok. Tak, chodzi o szereg/sumę.

Mariusz95:

(k+1)3		(k+1)2		k+1
	+		+		=
3		2		6

2(k+1)(k+2)(k+32)
6

ale jest ok

Trivial: Na marginesie, nie musisz przechodzi katorgi z szałem wymnażania i ponownym zwijaniem. Dużo łatwiej jest napisać: Zakładając

	n(n+1)(2n+1)
12 + 22 + ... + n2 =
	6

Dowiedziemy

	(n+1)(n+2)(2n+3)
12 + 22 + ... + n2 + (n+1)2 =
	6

Dowód:

	n(n+1)(2n+1)
12 + 22 + ... + n2 + (n+1)2 =		+ (n+1)2
	6

	2n2+n		6n+6		(n+1)(2n2+7n+6)		(n+1)(n+2)(2n+3)
= (n+1)(		+		) =		=
	6		6		6		6

Dowiedzione.

Trivial: Warto zapamiętać interesujący fakt odnośnie sum: suma wielomianu jest wielomianem o jeden stopień wyższym.

jakubs: Nieźle Dzięki

jakubs: Co do sum to mógłbyś pokazać konkretny przykład ? Ja średnio kumaty jestem.

Trivial: Przykład czego konkretnie?

jakubs: Chodzi mi o to : " suma wielomianu jest wielomianem o jeden stopień wyższym."

Trivial: Przez sumę wielomianu mam na myśli: S_n = w(1) + w(2) + ... + w(n). Dla wielomianu w stopnia r powyższa suma będzie wielomianem zmiennej n stopnia r+1. Np. dla w(k) = k³ + k − 1 Suma S_n = (1³+1−1) + (2³+2−1) + ... + (n³+n−1) będzie pewnym wielomianem stopnia czwartego zmiennej n: S_n = an⁴ + bn³ + cn² + dn + e.

jakubs: Dzięki !

Trivial: Wiedząc to możesz łatwo obliczyć sumę wielomianu poprzez rozwiązanie układu r+2 równań liniowych. Przykładowo: znajdź sumę liczb od 1 do n przewidując wielomian stopnia drugiego s(n). Wskazówka: s(1) = 1, s(2) = 1 + 2, s(3) = 1 + 2 + 3 Trzeba dopasować do tych punktów parabolę − zadanko trywialne.

Trivial: Albo nawet prościej: s(0) = 0 s(1) = 1 s(2) = 3

jakubs: Czyli to będzie coś takiego S_n=1+3+5+..+n i to będzie będzie ax²+bx+c Dobrze rozumiem ?

Trivial: S_n = 1 + 2 + 3 + .... + n I przewiduje się postać: s(n) = an² + bn + c albo prostszą w rachunkach: s(n) = a₀ + a₁n + a₂n(n−1) (dla stopnia 5 ostatni składnik byłby: a₅n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4); na pewno dostrzegasz dlaczego taka postać jest prostsza)

jakubs:

	n(n+1)
Czyli Sn=		=12(n2+n)
	2

Trivial: tak.

jakubs: Dziękuje Wybacz, że Cie tak męczyłem.