Jak obliczyć ostatni element ciągu arytmetycznego znając sumę wartości elementów Sławek SWP: Brakuje mi wiedzy! Niestety od czasów szkoły bardzo dużo zapomniałem a tu życie takiego psikusa mi zrobiło i postawiło zadanie życia codziennego... Pytanie brzmi: Czy przy tych danych istnieje sposób na obliczenie wartości ostatniego elementu ciągu arytmetycznego? Znane dane: − suma wszystkich wartości ciągu = Sn − różnicę ciągu = r − wartość pierwszego elementu ciągu = a Jak obliczyć wartość ostatniego elementu ciągu? an Na przykład dla Sn = 10 r = 1 a = 1 Ciąg wygląda tak: 1+2+3+4 czyli an = 4 Przy Sn = 78 r = 1 a = 1 an = 12

Domel: a_n = a₁ + (n−1)*r albo a_n = S_n − S_n−1

Sławek SWP: Nie znam przedostatniego Sn Nie znam też n

Piotr:

	[2a1+(n−1)r]n
Sn =		z tego wyznaczysz n
	2

WueR:

	a1+an		2 * Sn		2 * Sn
Sn =		* n ⇔		= a1+an ⇔ an =		− a1 (*)
	2		n		n

Przyklad: S_n = 78, a = 1, r = 1, ze wzoru na wyraz ogolny dostajemy a_n = n I z (_*) dostajemy :

	2 * 78
n =		− 1 ⇔ n2 + n − 156 = 0 ⇔ n1 = 12 lub n2 = −13, oczywiscie n∊N, wiec drugi
	n

wynik odrzucamy.

Trivial:

	n(n−1)
Sn = ∑k=1..n (a + (k−1)r) = na +		r
	2

r*n² + (2a−r)n − 2S_n = 0

	r−2a + √(2a−r)2 + 8rSn
n =
	2r

Mając n można obliczyć a_n

	−r + √(2a−r)2 + 8rSn
an = a + (n−1)r =
	2

Test: (S_n, r, a) = (78, 1, 1)

	−1 + √(2−1)2 + 8*78
an =		= 12
	2

WueR: W zasadzie ten pierwszy wzorek jest niepotrzebnie przeksztalcony, mozna od razu liczyc bez zadnych przeksztalcen. Pozna pora, ot co.

Piotr: Trivial jak zwykle pojechal niezle

Trivial:

Trivial: Jest jeszcze drugi przypadek z minusem. Chyba najbezpieczniej to jednak rozbić na dwie linijki.

	r−2a ± √(2a−r)2 + 8rSn
n =		← chociaż jedno rozwiązanie musi wyjść naturalne.
	2r

Potem tylko a_n = a + (n−1)r i gotowe.

Sławek SWP: Dziękuję z całego serca! (Rano to wszystko sobie przepracuję, bo teraz to tylko mnie odetkało, że ja to wszystko kiedyś robiłem) A już dostosowanie wzoru do posiadanych danych było poza zasięgiem skostniałego umysłu. od 18,00 tłukłem łbem o tą ścianę... Dziękuję jeszcze raz!